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1、数列求和与数列综合应用测试卷班级 姓名 座位号 一、选择题1若数列 an满足 若 ，则 的值为（ ）112,0;2,.nnna67a20A. B. C. D. ,67573712在数列 和 中， ，且对于任意自然数 , ， 是 与 的nab21an021nanba1n等差中项，则 等于（ ）5(A) 96 (B) 48 (C) 32 (D) 243已知数列 的通项为 为数列 的前 n项和，令 ，则数na21,nnSa1nbS列 的前 n项和的取值范围为（ ）bA B C D1,2(,1)3,24,14数列 的一个通项公式是（）854,79LA、 B、 C、 D、2(1)n()1)n2()1n(
2、2)1n5将棱长相等的正方体按如右图所示的形状摆放, 从上往下依次为第 1层, 第 2层, 第 3层. 则第 2005层正方体的个数是(A) 4011 (B) 4009 (C) 2011015 (D) 20090106数列 中， ，则该数列前 100项中的最大项与最小项分别是( )na2076nA. B. C. D. 501,41,a45,a504,a7若数列 的通项公式 ，设其前 n 项和为 Sn，则使n )(21logNnn成立的，正整数 n（ ）nSA有最小值 63 B有最大值 63 C有最小值 31 D有最大值 318数列 1，3，5，7，9，的一个通项公式为 （ ）A 、 2na B
3、、 )21(nanC 、 )1( D 、 9已知数列 中, 前 项和为 ，且点 在直线n,anS*1(,)nPN上，则 =（ ）10xy123nSLA.B. C.D.2n()(1)n2()10已知数列 的通项公式 ,设其前 n 项和为 ，则使na*lognaNnS成立的自然4nS数 有 （ ）A最大值 15B最小值 15C最大值 16D最小值 1611已知等差数列 的前 n项和为 ，且满足 ，则数列 的公差（ anS321Sna）A B1 C2 D3212 是首项 =1，公差为 =3 的等差数列，如果 =2005，则序号 等于 ( )nadnanA 667 B 668 C 669 D 670二
4、、填空题13古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，则第 30个三角数减去第 28个三角数的值为_ 14设 ，并且对于任意 ，4)2(,(0)*fNnf *21,Nn成立，猜想 的表达式_.(121n)(nf15已知数列 2010,2011,1，2010，2011，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2012 项之和 S2012等于_16 ）的值为 222135lim(1nn21n17已知数列 是公差为 的等差数列，其前 项和为 ，并有 adnSnmSn；那么，对于公比为 的等比数列 ，设其前 项积为 ，则 ， ， 及
5、dqnbTT满足的一个关系式是 q三、解答题18设正数数列 的前 项和为 ，且 ，nanS1()2na()N()试求 ， ，123()猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明na19 （12 分）在数列 中， ，且对任意 都有 成n31a1,*nNnnaa1立，令 （1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 n项和 。)(*NabnnbT20：数列 满足： ， .n 213nna1,3L（）若数列 为常数列，求 的值；a（）若 ，求证： ；（）在（）的条件下，求证：数列 单调12234n 2na递减.21 （本题满分 9分）已知数列 满足na11,2naN（1）求数列 的通项公式；（2）若数列
6、满足nab，求数列 的通项公式；（ 3）若 ，nbbb an14411321 Ln 12nac求数列 的前 n项和 cnS22 （本小题满分 14分）若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列已知数列 是调和数列，对于各项都是正数的数列 ，满足 na nx12nnaax*()N（）求证：数列 是等比数列；nx（）把数列 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当 时，求第 行各数的和；378, 12xm（）对于（）中的数列 ，若数列 满足nxnb12345678910 xxL，求证：数列 为等差数列.31211*44 ()nnbbb xNLnb23 （本题 9分
7、）给出下面的数表序列：表 1 表 2 表 3 1 1 3 1 3 54 4 812其中表 有 行，第 1行的 个数是 1，3，5， ，从第 2行起，L,2nnn1n每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（1）写出表 4，验证表 4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 （不要求证明）3（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1，4，12，记此数列为，求数列 的前 项和nbn24在数列 中， .a112,(N)nna()求证：数列 为等差数列；n()设数列 满足 ，若nb)1(log2nan23411()()()nbbL对一切 且 恒成立，求实数 的取值范围.
8、1kNk参考答案1B【解析】 ， ， ， ，167a2157a3217a43627a， ， ，故该数列周期为 3，5426576，故选 B207a2B3A4D5C6C【解析】由已知条件判定数列单调性，注意 的取值范围.n，Q207612076nna时， 递减； 时， 递减.结合图象，选 C.4,1n,45na7A8B9A【解析】解：因为数列的首项为 1，且有n1n1nn12a0a()S2()S1nL10D11C12C 【解析】 是首项 =1，公差为 =3 的等差数列，如果 =2005，na1dna则 1+3(n1)=2005,故 n=66913 59【 解 析 】 由 三 角 数 规 律 可
9、知 ，可知三角数的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，因而可知第 30项比第 29个项点数多 30个，而第 29项比第 28项多 29个，故可求出第 30个三角数比第 28个三角数多的点数 59个14 nf2)(【解析】解：因为设 ，并且对于任意 ，4)2(,(0)*fNnf *21,Nn成立， 猜想 的表达式()(2121nf3L)(nff)(1540211617 nmTmnq18 （1） 23,1,2,aa（2）猜想 *()nnN下用数学归纳法证明：假设当 时，结论成立，即 ，(1,)k且 1ka则当 时，有n11()()22kkkkaSa1kka解方程得 ，即当 时，结论
10、也成立1k1nk由可知，猜想成立19（1） ；（2）nb)23(452nTn20：略【解析】：解：（）因为数列 为常数列，na所以 ，1na32n解得 或0na23n由 的任意性知， 或 .11a所以 ，或 . 3 分23a（）用数学归纳法证明 .234na当 时， ，1n24符合上式. 4 分 假设当 时， ，(1)k234ka因为 ，234ka所以 ，即 .2916k21963k从而 ，即 .2121835k 8956a因为 ，854所以，当 时， 成立.nk234ka由，知， . 9 分3k（）因为 222222(3)(3)nnnnnnaa( )，4327568a所以只要证明 .2220
11、nnnn由（）可知， ，0a所以只要证明 ，3222754368nnna即只要证明 . 12 分20令 ，3()8fxx，222754369(14)9(3)0xx所以函数 在 上单调递增. 14 分()fxR因为 ，234na所以 ，即 成立.()(0ff32227543680nnnaa故 .22n所以数列 单调递减. 16 分a21解：（1） ；（2） ；（3）1nnbn2112nnS【解析】本题考查形如 形式递推公式求通项公式的方法， 与 关系以及错1napqanS位相减法求数列的前 n项和。解：（1） ， 21Q)1(21nna故数列 是首项为 2，公比为 2的等比数列。 ，na nn2
12、1na（2） ，nnbbb4411321L23214bbnL即2321n n， ， 也满足，nb1b1nbn21（3） ，22)( 11nnnnc 1nnS22 （）证明：因为 ，且数列 中各项都是正数，1nnaaxxnx所以 12lgllgnnna设 ， xaxp因为数列 是调和数列，故 ， na0n12nna所以 122nnp由得 ，1212lg, l, lgnnnpxxxaa代入式得 ，即 . 2llnn12 ll()nnx故 . 所以数列 是等比数列 5 分212 nnxnx（）设 的公比为 ，则 ，即 由于 ，故 q4374812q0nx2q于是 38nnx注意到第 行共有 个数， (1,2)L所以三角形数表中第 1行至第 行共含有 个数.m(1)123()2mL因此第 行第 1个数是数列 中的第 项.mnx2()故第 行第 1个数是 ， 22m所以第 行各数的和为 10 分m2 2
