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1、第一讲 整数整除的概念和性质1已知 a，b 是整数，求证：a+b ，ab、a-b 这三个数之中，至少有一个是 3 的倍数解答：证明：对于 a，b，若至少有 1 个数是 3 的倍数，则 ab 是 3 的倍数；若 a，b 都不是 3 的倍数当 a=3m+1，b=3n+1 时 ，a-b=3（m-n），a-b 是 3 的倍数；当 a=3m+1，b=3n+2 时 ，a+b=3（m+n+1），a+b 是 3 的倍数；当 a=3m+2，b=3n+2 时 ，a-b=3（m-n），a-b 是 3 的倍数；a+b，ab、a-b 这三个数之中，至少有一个是 3 的倍数2.已知 7 位数 是 72 的倍数，求出所有的
2、符合条件的 7 位数解答：解：72| ，8| ，9| 。由此得：1+2+8+7+x+y+6=24+x+y 是 9 的倍数，而 0x9，0y9，则 x+y=3 或 12，又必是 8 的倍数，必是 4 的倍数，则 y=1，3，5，7 或 9，当 y=1 时，x=2，8|216 ；当 y=3 时，x=0 或 9，8 不能整除 36（不符合题意），8|936（符合题意）；当 y=5 时，x=7，8 不能整除 756（不符合题意）；当 y=7 时，x=5，8|756 ；当 y=9 时，x=3，8 不能整除 396（不符合题意）；综上可得：当 y=1，x=2；y=3，x=9，；y=7，x=5 时所得的 7
3、 位数满足条件符合条件的 7 位数为：1287216， 1287936，12875763.（1）若 a、b、c、d 是互不相等的整数，且整数 x 满足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求证：4|（a+b+c+d）（2）已知两个三位数 与 的和 + 能被 37 整除， 证明：六位数 也能被 37 整除解答：证明：（1）9=1（-1）3 （-3），可设 x-a=1，x-b=-1，x-c=3，x-d=-3，a=x-1，b=x+1，c=x-3，d=x+3，a+b+c+d=4x，即 4|（a+b+c+d）；（2） = 1000+ = 999+（ + ）又和（ + ）能被 37 整除，
4、 999+（ + ）能被 37 整除，即六位数 能被 37 整除4.某商场向顾客发放 9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001 到 9999 号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被 101 整除解答：解：由已知，显然，号码为 9999 是幸运券，除这张外，如果某个号码 n 是幸运券，那么号 m=9999-n 也是幸运券，由于 9 是奇数，所以 mn由于 m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号 码 9999 这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码
5、之和均为 9999，即所有幸运券号码之和是9999 的整倍数，而 101|9999，故知所有幸运券号码之和也能被 101 整除5.写出都是合数的 13 个连续自然数解答：解：我们知道，若一个自然数 a 是 2 的倍数， 则 a+2 也是 2 的倍数，若是 3的倍数，则 a+3 也是 3 的倍数，若 a 是 14 的倍数，则 a+14 也是 14 的倍数，所以只要取 a 为 2，3，14 的倍数，则 a+2，a+3，a+14 分别为 2，3，14的倍数，从而它们是 13 个连续的自然所以，取 a=23414，则 a+2，a+3，a+14 必为 13 个都是合数的连续的自然数6.已知定理“若大于
6、3 的三个质数 a、b、c 满足关系式 2a+5b=c，则 a+b+c 是整数n 的倍数” 试问 ：这个定理中的整数 n 的最大可能 值是多少？请证明你的结论解答：证明：a+b+c=a+b+2a+5b=3（a+2b ），显然，3|a+b+c，若设 a、b 被 3 整除后的余数分别为 、 ，则 0， 0arbarb若 ，则 =2， =1 或 =1， =2，rabra则 2a+5b=2（3m+2）+5（3n+1）=3（2m+5n+3），或者 2a+5b=2（3p+1）+5（3q+2）=3（2p+5q+4），即 2a+5b 为合数与已知 c 为质数矛盾只有 = ，则 = =1 或 = =2arbar
7、barb于是 a+2b 必是 3 的倍数，从而 a+b+c 是 9 的倍数又 2a+5b=211 十 55=47 时，a+b+c=11+5+47=63，2a+5b=213 十 57=61 时，a+b+c=13+7+61=81，而（63，81）=9，故 9 为最大可能值7.一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”解答：解：设 N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为 a、b、c（a、b、c 不全相等），将其各位数字重新排列后，连同原数共得 6
8、个三位数：，不妨 设其中的最大数为，则最小数为由“新生数”的定义，得 N= - =（100a+l0b+c）一abc（100c+l0b+d）=99（a-c）由上式知 N 为 99 的整数倍， 这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990这九个数中，只有 954-459=495 符合条件，故 495 是唯一的三位新生数”8.从左向右将编号为 1 至 2002 号的 2002 个同学排成一行，从左向右从 1 到 11报数，报到 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1 到 11 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列；留下的
9、同学再从左向左从 1到 11 地报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列问最后留下的同学有多少？他们的编号是几号？解答：解：由题意，第一次报数后留下的同学，他 们的编号必为 11 的倍数；第二次报数后留下的同学，他们的编号必为 112=121 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为 113=1331 的倍数因此，最后留下的同学编号为 1331 的倍数，我 们知道从 12002 中， 1331 的倍数只有一个，即 1331 号，所以，最后留下一位同学，其编号为 13319.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数 ，把 的和 N 告诉魔术师，于是魔 术师就能说出这个人所想的数现在设
10、 N=3194，请你做魔术师，求出数 来解答：解：将 也加到和 N 上，这样 a、b、c 就在每一位上都恰好出现两次，所acb以有 +N=222（a+b+c），从而 3194+100222（a+b+c）3194+999，而 a、b、c 是整数所以 15a十 b 十 c18因为 22215-3194=136，22216-3194=358，22217-3194=580，22218-3194=802，其中只有 3+5+8=16 能满足 式， =38510.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求 A 和 B 乘积的最大值解答：解：先通过运算的进位，将能确定的口确定下来，再来分
11、析求出 A 和 B 乘积的最大值设算式为显然，g=1，d=9，h=0 a+c+f=10+B，b+e=9+A，A62（A+B）+19=2+3+4+5+6+7+8=35，A+B=8要想 AB 最大， A6，取 A=5，B=3此时 b=6，e=8，a=2，c=4；f=7，故 AB 最大 值为 1511.任给一个自然数 N，把 N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数 N，试证 明：|N-N|能被 9 整除解答：解：令 N= ，则 N= na21 1an所以，N 除以 9 所得的余数等于 除以 9 所得的余数，n21而 N除以 9 所得的余数等于 除以 9 所得的的余数1n显然， = 因此， N 与 N除以 9 所得的余数相同，naa21 1an从而|N-N|能被 9 整除12.（1）证明：形如 的六位数一定能被 7，1l，13 整除（2）若 4b+2c+d=32，试问 能否被 8 整除？请说 明理由解答：解：（1） =1001（100a+10b+c）=71113（100a+10b+c），形如 的六位数一定能被 7，1l，13 整除（2） =1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+（4b+2c+d）=1000a+96b+8c+32，以上各式均能被 8 整除，故若 4b+2c+d=32， 能被 8 整除
