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1、第一讲 整数整除的概念和性质1已知 a,b 是整数,求证:a+b ,ab、a-b 这三个数之中,至少有一个是 3 的倍数解答:证明:对于 a,b,若至少有 1 个数是 3 的倍数,则 ab 是 3 的倍数;若 a,b 都不是 3 的倍数当 a=3m+1,b=3n+1 时 ,a-b=3(m-n),a-b 是 3 的倍数;当 a=3m+1,b=3n+2 时 ,a+b=3(m+n+1),a+b 是 3 的倍数;当 a=3m+2,b=3n+2 时 ,a-b=3(m-n),a-b 是 3 的倍数;a+b,ab、a-b 这三个数之中,至少有一个是 3 的倍数2.已知 7 位数 是 72 的倍数,求出所有的
2、符合条件的 7 位数解答:解:72| ,8| ,9| 。由此得:1+2+8+7+x+y+6=24+x+y 是 9 的倍数,而 0x9,0y9,则 x+y=3 或 12,又必是 8 的倍数,必是 4 的倍数,则 y=1,3,5,7 或 9,当 y=1 时,x=2,8|216 ;当 y=3 时,x=0 或 9,8 不能整除 36(不符合题意),8|936(符合题意);当 y=5 时,x=7,8 不能整除 756(不符合题意);当 y=7 时,x=5,8|756 ;当 y=9 时,x=3,8 不能整除 396(不符合题意);综上可得:当 y=1,x=2;y=3,x=9,;y=7,x=5 时所得的 7
3、 位数满足条件符合条件的 7 位数为:1287216, 1287936,12875763.(1)若 a、b、c、d 是互不相等的整数,且整数 x 满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0,求证:4|(a+b+c+d)(2)已知两个三位数 与 的和 + 能被 37 整除, 证明:六位数 也能被 37 整除解答:证明:(1)9=1(-1)3 (-3),可设 x-a=1,x-b=-1,x-c=3,x-d=-3,a=x-1,b=x+1,c=x-3,d=x+3,a+b+c+d=4x,即 4|(a+b+c+d);(2) = 1000+ = 999+( + )又和( + )能被 37 整除,
4、 999+( + )能被 37 整除,即六位数 能被 37 整除4.某商场向顾客发放 9999 张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001 到 9999 号,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”证明:这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被 101 整除解答:解:由已知,显然,号码为 9999 是幸运券,除这张外,如果某个号码 n 是幸运券,那么号 m=9999-n 也是幸运券,由于 9 是奇数,所以 mn由于 m+n=9999相加时不出现进位,这就是说,除去号 码 9999 这张幸运券外,其余所有幸运券可全部两两配对,而每一对两个号码
5、之和均为 9999,即所有幸运券号码之和是9999 的整倍数,而 101|9999,故知所有幸运券号码之和也能被 101 整除5.写出都是合数的 13 个连续自然数解答:解:我们知道,若一个自然数 a 是 2 的倍数, 则 a+2 也是 2 的倍数,若是 3的倍数,则 a+3 也是 3 的倍数,若 a 是 14 的倍数,则 a+14 也是 14 的倍数,所以只要取 a 为 2,3,14 的倍数,则 a+2,a+3,a+14 分别为 2,3,14的倍数,从而它们是 13 个连续的自然所以,取 a=23414,则 a+2,a+3,a+14 必为 13 个都是合数的连续的自然数6.已知定理“若大于
6、3 的三个质数 a、b、c 满足关系式 2a+5b=c,则 a+b+c 是整数n 的倍数” 试问 :这个定理中的整数 n 的最大可能 值是多少?请证明你的结论解答:证明:a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b ),显然,3|a+b+c,若设 a、b 被 3 整除后的余数分别为 、 ,则 0, 0arbarb若 ,则 =2, =1 或 =1, =2,rabra则 2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者 2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)=3(2p+5q+4),即 2a+5b 为合数与已知 c 为质数矛盾只有 = ,则 = =1 或 = =2arbar
7、barb于是 a+2b 必是 3 的倍数,从而 a+b+c 是 9 的倍数又 2a+5b=211 十 55=47 时,a+b+c=11+5+47=63,2a+5b=213 十 57=61 时,a+b+c=13+7+61=81,而(63,81)=9,故 9 为最大可能值7.一个正整数 N 的各位数字不全相等,如果将 N 的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N,则称 N为“新生数”,试求所有的三位“新生数”解答:解:设 N 是所求的三位“新生数”,它的各位数字分别为 a、b、c(a、b、c 不全相等),将其各位数字重新排列后,连同原数共得 6
8、个三位数:,不妨 设其中的最大数为,则最小数为由“新生数”的定义,得 N= - =(100a+l0b+c)一abc(100c+l0b+d)=99(a-c)由上式知 N 为 99 的整数倍, 这样的三位数可能为:198,297,396,495,594,693,792,891,990这九个数中,只有 954-459=495 符合条件,故 495 是唯一的三位新生数”8.从左向右将编号为 1 至 2002 号的 2002 个同学排成一行,从左向右从 1 到 11报数,报到 11 的同学原地不动,其余同学出列;然后,留下的同学再从左向右从1 到 11 报数,报到 11 的同学留下,其余同学出列;留下的
9、同学再从左向左从 1到 11 地报数,报到 11 的同学留下,其余同学出列问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?解答:解:由题意,第一次报数后留下的同学,他 们的编号必为 11 的倍数;第二次报数后留下的同学,他们的编号必为 112=121 的倍数;第三次报数后留下的同学,他们的编号必为 113=1331 的倍数因此,最后留下的同学编号为 1331 的倍数,我 们知道从 12002 中, 1331 的倍数只有一个,即 1331 号,所以,最后留下一位同学,其编号为 13319.在一种游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数 ,把 的和 N 告诉魔术师,于是魔 术师就能说出这个人所想的数现在设
10、 N=3194,请你做魔术师,求出数 来解答:解:将 也加到和 N 上,这样 a、b、c 就在每一位上都恰好出现两次,所acb以有 +N=222(a+b+c),从而 3194+100222(a+b+c)3194+999,而 a、b、c 是整数所以 15a十 b 十 c18因为 22215-3194=136,22216-3194=358,22217-3194=580,22218-3194=802,其中只有 3+5+8=16 能满足 式, =38510.在下边的加法算式中,每个口表示一个数字,任意两个数字都不同:试求 A 和 B 乘积的最大值解答:解:先通过运算的进位,将能确定的口确定下来,再来分
11、析求出 A 和 B 乘积的最大值设算式为显然,g=1,d=9,h=0 a+c+f=10+B,b+e=9+A,A62(A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35,A+B=8要想 AB 最大, A6,取 A=5,B=3此时 b=6,e=8,a=2,c=4;f=7,故 AB 最大 值为 1511.任给一个自然数 N,把 N 的各位数字按相反的顺序写出来,得到一个新的自然数 N,试证 明:|N-N|能被 9 整除解答:解:令 N= ,则 N= na21 1an所以,N 除以 9 所得的余数等于 除以 9 所得的余数,n21而 N除以 9 所得的余数等于 除以 9 所得的的余数1n显然, = 因此, N 与 N除以 9 所得的余数相同,naa21 1an从而|N-N|能被 9 整除12.(1)证明:形如 的六位数一定能被 7,1l,13 整除(2)若 4b+2c+d=32,试问 能否被 8 整除?请说 明理由解答:解:(1) =1001(100a+10b+c)=71113(100a+10b+c),形如 的六位数一定能被 7,1l,13 整除(2) =1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+(4b+2c+d)=1000a+96b+8c+32,以上各式均能被 8 整除,故若 4b+2c+d=32, 能被 8 整除