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1、微积分与极限思想有没有听说过“曹冲称象” 的故事？想知道大象的体重，但无法直接去称它，怎么办呢？聪明的曹冲就想出一个办法：用石头的重量代替大象的体重。这个故事给我们一个思想方法的启发-先“化整为零” （把大象的体重用石头质量来替代） ，再“积零为整”（石头质量的累积就是大象体重） 。“微积分”就是“ 微分”+“积分”。 “微” 是“细微”， “微分” 就是“ 无限细分”；“ 积”是“累积”即求和，而非“乘积”， “积分 ”就是“无限求和”。我问你如何求圆的面积，你一定可以马上回答出它的计算公式。但如果是在没有发现圆周率以前的时候呢？古人只能把整个圆面等分成许多全等的小扇形（就象我们过生日分蛋糕
2、那样） 。虽然扇形很象三角形，但他毕竟不是三角形。二者差异就在于弧与弦的“曲”“ 直”有别，无法直接替代。因为我们会求三角形的面积，所以又很想实现这种替代。怎么办？唯一的可能就是“无限细分” 。因为分得越细，二者的差异就越小。当细到“相当细”时，我们有理由用弦换弧来实现“以直代曲”的跳跃思维。什么是“相当细” 呢？“ 相当细 ”就是前面提到的“无限细分”。一千不算“相当细”，一万不算“相当细”，一万万不算“ 相当细 ”.任何具体的数目，无论多大，都不算“相当细”！微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧
3、洲的大批数学家，古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。阿基米德借助于“穷竭法”解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。这种方法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态
4、的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段来处理，从而回避了连续变化率微积分的形成与发展的历史无疑是数学界的重要话题。翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，无论是外国人编写的，还是我国的作者；无论是过去，还是现在；大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一。中华民族有着光辉灿烂的数学史，对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献。中华民族功不可磨，理应受到世人的承认与尊重由于“变量”作为新的问题进入了
5、数学，对数学的研究方法也就提出了新的要求在十七世纪前半叶，解析几何的观念已经有一系列优秀的数学家接近了但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔和费尔马创立在十六世纪末、十七世纪初的欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式的改变资本主义制度的产生，使社会生产力大大得到解放资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速向前发展在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出了新的课题公元1492年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形的观念；1543年，哥白尼发表了天体运行论 ，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇；开普勒在16091619年，总结出行星运动的三大定律，导致
6、后来牛顿万有引力的发现；1609年伽里略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向新的境界这些科学实践拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的质变十六世纪，随着资本主义的出现，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展社会实践中有大量处于不断运动和变化的关系需要人们去认识和处理对它们的研究从而获得了“变量”的概念对变化着的量的一般性质和它们之间的依赖关系的研究，又得到了“函数”的概念使得对数学的研究从常量开始进入了变量的领域这成为数学发展史上的一个转折点，也是“变量”数学发展的第一个决定性步骤在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变动的坐标，用代数方程刻画一般平面
7、曲线，用代数运算代替几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来了这种新的数学方法的出现与发展，使数学的思想和方法的发展发生了质的变化，思格斯把它称为数学的转折点此后人类进入了变量数学阶段，也是变量数学发展的第一个决定性步骤为十七世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件牛顿的“流数术”牛顿1642 年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书。17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来，牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校。史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的农务中
8、埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说是科学史上最幸运的预言。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术 ，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。牛顿于1664 年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文 流数简论 ，这也是历史上第一篇系统的
9、微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分） ；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著自然哲学的
10、数学原理 ，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯的私人影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡儿和帕斯卡等人的著作。与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于
11、几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在教师学报上发表了第一篇微分学论文一种求极大值与极小值以及求切线的新方法 （简称新方法 ） ，它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程。莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的。微积分的创立17世纪最伟大的数学成就是微积
12、分的发明。古代的数学都是常量数学，解析几何的出现和微积分的发明把变量带进了数学，变量意味着运动，所以，微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念。而这两个方面由于笛卡儿和费尔马等人的工作，其基础已基本具备。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系
13、统，如，引入dx 表示 x 的微分，表示积分， dnx 表示 n 阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。牛顿、莱布尼茨将这两个貌似不相关的问题联系起来，用“微积分基本定理”或称“牛顿 莱布尼茨公式”表达出来他们有效地创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能成为一门独立的学科，并成为数学中最大分支“分析学”的起源，微积分理论的建立聚集了许许多多科学家和数学家的努力，最后集大成者是牛顿和莱布尼兹。牛顿与莱布尼茨关于微积分优先权的争议牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能。就微积分的创立
14、而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。牛顿和莱布尼茨完全独立地发明了微积分，就发明时间而言牛顿早于莱布尼茨，但就发表时间而言莱布尼茨早于牛顿。而且两人作为当时的大名人，相互敬慕还曾有书信来往。1687年，牛顿在自然哲学的数学原理中首次发表他的流数方法时，在前言中有这样一段话：“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解决其它类似的问题，。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。 ”但在第三版的时候牛
15、顿删去了这段话，原因是他们之间发生了优先权的争议。第一个特征是不严密正如任何一项重大的发明，都不可能在一开始时便完整无瑕，微积分在其产生的初期，也因理论的不严密而在许多方面陷入了自相矛盾的困境微积分产生于解析几何、物理等的直观问题的需要，而同时也广泛地被利用它没有相应的数学理论作指导，还来不及为自己打基础微积分的基础是极限理论，而牛顿，莱布尼茨的极限观念是十分模糊的究竟什么是极限？无穷小又是什么？这在当时没有人作出过合理的解释级数和积分的收敛性，微分和积分次序交换，高阶微分的使用，以及微分方程解的存在性问题等等，那时几乎没有人涉足数学家就沉迷于用新的数学方法去解决物理、天文等方面的问题，而又被
16、得到的新的成果所陶醉大家还顾及不上去追究在数学推理上的严密性在当时的情况下也没看到有这必要正如达朗贝尔在1743年说：“直到现在表现出更多关心的是去扩大建筑，而不是在人口处张灯结彩；是把房子盖得更高些，而不是给基础补充适当的强度 ”因此，十八世纪的数学家开垦了许多新的处女地，数量之多是惊人的，但是他们的工作是粗糙的，不严密的，是刀耕火种式的工作方法由于十八世纪的数学家忙于应用解析几何和微积分这两种强有力的数学工具去解决科学和技术中的许多实际问题，并被新方法的成功所陶醉，而无暇顾及所依据的理论是否可靠，基础是否扎实，这就出现了谬误越来越多的混乱局面争端是局微积分学的深入发展，成为了十八世纪数学发展的主要线索这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多新分支的产生，使分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特别的独立的数学领域这个时期微积分学的发展有三个显著特征外人挑起的，1699年一位瑞士数学家在一本小册子中说“ 牛顿是微积
