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1、怎样求点到平面的距离徐加生在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。一 直接法根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。例 1. （1998 年全国高考题）已知斜三棱柱 的侧面 与底面 ABC1CBA1垂直， ，且 ；（I）求侧棱 与32AC,B,90AC,1A底面 ABC 所成角的大小；（ II）求侧面 与底面 ABC 所成二面角的大小；（III）1求顶点 C 到侧面 的距离。1图 1简析：（I）如图 1，取 AC
2、中点 D，易得侧棱 与底面 ABC 所成的角为A。45AD1（II）由于 底面 ABC，过 D 作 于 E，连 ，知 ，则1 B1ABE1为所求二面角的平面角。易求得 。E1 601（III）要求 C 到平面 的距离，可直接作 面 于 ，CH 的长就是1ABCH1点到平面的距离。关键是怎样求 CH 的长。注意到 ，连 BH，则由三垂线定理得A，即 为二面角的平面角。由（II）知 ，所以ABH为所求。360sin注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。二. 找垂面法找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段。例 2. 正三棱柱 的底面边长为 2
3、，侧棱长为 ， 的中点为1CBA31CAD。 （1）求证 平面 ；（2）求点 B 到平面 的距离。/BC1D1 DA1图 2简析：（1）连 与 相交于 O，连 DO。由三角形中位线定理易得 ，BA11 OD/BC1则 。D/BC面（2）由于 O 为 的中点，所以点 B 到平面 的距离等于点 到平面 的1 DA11A1距离。由 ，得 ，又 ，所以面11C面面，交线为 AD（找到了垂面） 。1A面过 作 于 H，则 ，所以 的长度就是点 到平面1D11面 H11的距离。B在 中，Rt123A11所以点 B 到平面 的距离为 。三. 转化法当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为
4、直线上（平面上）其他点到平面的距离。例 3. （1991 年全国高考题）已知 ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD的中点，GC 垂直于 ABCD 所在平面，且 GC=2，求点 B 到平面 EFG 的距离。简析：如图 3，连 AC 分别与 BD 相交于 O，与 EF 相交于 H，由 EF/BD，得 BD/平面 EFG。所以 O 到平面 EFG 的距离就是 B 到平面 EFG 的距离。易证平面 平面GCGEF，交线为 GH。在 中，过 O 作 于 K，则 OK 长就是 B 到平面 EFGGCHRtG的距离。利用相似三角形，易得 。12K图 3四. 等积法即利用三棱锥的换底法
5、,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算较为复杂。例 4. 同例 3。简析：设 B 到面 EFG 的距离为 h，hS1VGEFF由于 ，12)43(21H2 所以 h3GEFB另一方面， ，34S12SGC31VBADBEFBEF 所以 ，34h12得 即为 B 到平面 GEF 的距离。五. 坐标向量法通过建立空间直角坐标系，用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。例 5. （ 2003 年江苏高考题）如图 4，在直三棱柱 中，底面是等腰直角1CBA三角形， ，侧棱 ，D 、E 分别是 与 的中点，点 E 在平面90ACB2A11ABD 上的射影是
6、 的重心 G。 （I）求 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角B1函数表示） ；（II ）求点 A1 到平面 AED 的距离。图 4简析：（I）易知 为 与平面 ABD 所成的角。不难求出 。GBEA1 32arcsinGBE（II）分别以 CA、CB、 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图 4 所示的空间直角坐标系。1C设 ，则 A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，D （0，0，1） ， （2a ，0，2） ，a2|C 1AE（a， a，1） ， ，)3,(G所以 )1,a2(D,由 ，03a2B解得 。1所以 A（2，0，0） ， （2， 0，2） ，E（1，1，1）1易证平面 平面 ，交线为 AE，所以点 在平面 AED 内的射影 H 在 AEEDA1A上。设 ，则H)2,(A1由 ，即 ，得0E 032所以 )34,2(HA16|故点 到平面 AED 的距离为 。1A362
