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1、怎样求点到平面的距离徐加生在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法,供参考。一 直接法根据空间图形的特点和性质,找到垂足的位置,直接向平面引垂线,构造可解的直角三角形求解。例 1. (1998 年全国高考题)已知斜三棱柱 的侧面 与底面 ABC1CBA1垂直, ,且 ;(I)求侧棱 与32AC,B,90AC,1A底面 ABC 所成角的大小;( II)求侧面 与底面 ABC 所成二面角的大小;(III)1求顶点 C 到侧面 的距离。1图 1简析:(I)如图 1,取 AC
2、中点 D,易得侧棱 与底面 ABC 所成的角为A。45AD1(II)由于 底面 ABC,过 D 作 于 E,连 ,知 ,则1 B1ABE1为所求二面角的平面角。易求得 。E1 601(III)要求 C 到平面 的距离,可直接作 面 于 ,CH 的长就是1ABCH1点到平面的距离。关键是怎样求 CH 的长。注意到 ,连 BH,则由三垂线定理得A,即 为二面角的平面角。由(II)知 ,所以ABH为所求。360sin注:此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。二. 找垂面法找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段。例 2. 正三棱柱 的底面边长为 2
3、,侧棱长为 , 的中点为1CBA31CAD。 (1)求证 平面 ;(2)求点 B 到平面 的距离。/BC1D1 DA1图 2简析:(1)连 与 相交于 O,连 DO。由三角形中位线定理易得 ,BA11 OD/BC1则 。D/BC面(2)由于 O 为 的中点,所以点 B 到平面 的距离等于点 到平面 的1 DA11A1距离。由 ,得 ,又 ,所以面11C面面,交线为 AD(找到了垂面) 。1A面过 作 于 H,则 ,所以 的长度就是点 到平面1D11面 H11的距离。B在 中,Rt123A11所以点 B 到平面 的距离为 。三. 转化法当由点向平面引垂线发生困难时,可利用线面平行或面面平行转化为
4、直线上(平面上)其他点到平面的距离。例 3. (1991 年全国高考题)已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD的中点,GC 垂直于 ABCD 所在平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离。简析:如图 3,连 AC 分别与 BD 相交于 O,与 EF 相交于 H,由 EF/BD,得 BD/平面 EFG。所以 O 到平面 EFG 的距离就是 B 到平面 EFG 的距离。易证平面 平面GCGEF,交线为 GH。在 中,过 O 作 于 K,则 OK 长就是 B 到平面 EFGGCHRtG的距离。利用相似三角形,易得 。12K图 3四. 等积法即利用三棱锥的换底法
5、,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效,减少了推理,但计算较为复杂。例 4. 同例 3。简析:设 B 到面 EFG 的距离为 h,hS1VGEFF由于 ,12)43(21H2 所以 h3GEFB另一方面, ,34S12SGC31VBADBEFBEF 所以 ,34h12得 即为 B 到平面 GEF 的距离。五. 坐标向量法通过建立空间直角坐标系,用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。例 5. ( 2003 年江苏高考题)如图 4,在直三棱柱 中,底面是等腰直角1CBA三角形, ,侧棱 ,D 、E 分别是 与 的中点,点 E 在平面90ACB2A11ABD 上的射影是
6、 的重心 G。 (I)求 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角B1函数表示) ;(II )求点 A1 到平面 AED 的距离。图 4简析:(I)易知 为 与平面 ABD 所成的角。不难求出 。GBEA1 32arcsinGBE(II)分别以 CA、CB、 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图 4 所示的空间直角坐标系。1C设 ,则 A(2a,0,0) ,B(0,2a,0) ,D (0,0,1) , (2a ,0,2) ,a2|C 1AE(a, a,1) , ,)3,(G所以 )1,a2(D,由 ,03a2B解得 。1所以 A(2,0,0) , (2, 0,2) ,E(1,1,1)1易证平面 平面 ,交线为 AE,所以点 在平面 AED 内的射影 H 在 AEEDA1A上。设 ,则H)2,(A1由 ,即 ,得0E 032所以 )34,2(HA16|故点 到平面 AED 的距离为 。1A362