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1、如何求单位分数和的最简真分数？数学探究课教学案例徐教院附中 何京尧背景如何联系学生实际情况进行数学探究课的教学，本人将于本学期作这一节课的尝试。 本节课的教学目标是：1.解答求单位分数和的最简真分数问题，理解有关概念。2 .指导学生尝试解决数学问题，从而对数学产生兴趣。3.从解题的探索中，学会思维的方法：从特殊到一般，再从一般加以逻辑推理，猜想结果的方法；类比和分类讨论等数学思想。教学重点是： 学会尝试、探索、推理和归纳的思维方法。估计的教学难点是： 探索如何有效解决这个问题的方法。教学方法是：引导、讨论、归纳和探索。实践教学过程：这是一道有趣的分数加法综合题。“分子为 1 的真分数叫做单位分
2、数，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如： 。31265（1）把 写成两个单位分数的和，请写出两种不同的答案。27（2）最简真分数 ，对某些 x 的值，它可以写成两个单位分数的和，x9例如当 x=20 时， 。5140请再找出三个不同的 x 值，使得 可以写成两个单位分数的和，并写x9出式子。我们就从这道题开始吧。分析：（1）从例题“ ”可以看到这个真分数的“分子恰好31265是两个单位分数的分母之和，分母是两个单位分数的分母之积。 ”相类似，由观察所得的这个真分数的特征，易于得到“”,243,7。可得一个答案。1那么，另一个答案怎么考虑？我们知道：根据分数相加的法则，真分数的分
3、子 7 应是两数之和。7=1+6=2+5=3+4 ，这三种情况。而分母 12 应是两数之积：12=112=26=34 三种情况。这里“3+4 和 34 恰好是我们的一个答案” 。那么从分子之和为 7 考虑是否还有两种情况：由分子 7=1+6，分母为 12。若 化简其中 为真分数单1276216位，可得另一答案 。12由分子 7=2+5，分母为 12，应有 化简其中 为分子是 1 的56单位分数，而 已经是最简分数，无法化为分子为 1 的单位分数，不能得到符125合题意的答案。从分子相加为 7，分子相乘为 12 两者的角度考虑，写成 的两127个单位分数的和。只有 和 两个答案。41312方法分
4、析：（2）将最简真分数 写成两个单位分数的和。从（1）的答案中启x9示我们，可以从分子 9=1+8=2+7=3+6=4+5 这四种情况考虑，用穷举的方式归纳解出。解：（1）满足分子相加 1+8 的分数之和：（不合题意，舍去.）89（是一个答案）162（不是答案）343（是一个答案）98（是一个答案）051（不是答案）6346（是一个答案）987） （是一个答案）1（不是答案）29总结：当 n1 为自然数，18=8，取 x=8n ，8n 不是 3 的倍数时，即可。这样的单位分数和式有无数多个。x8（2）满足分子相加 2+7 的分数之积。n=1 ， （是一个答案）1497212n=2 ， （是一个
5、答案）8n=3 ， （不是答案）316n=4 ， （是一个答案）5928当 x=27n=14n 时 (n1 为自然数) ，且 3 不能整除 14n 为此时解，这样的单位分数和式有无数多个。nx7129（3）满足分子相加 3+6 的单位分数之和。因为分母取 x=36n=18n 为 9 的倍数，不能构成最简真分数，故此种情况无解。 ，（4）满足分子相加 4+5 的单位分数之和。类似地有：当 x=45n=20n 时 (n1 为自然数) ，且 3 不能整除 20n 为此时解， 这样的单位分数和式有无数多个。nx5149结论从这道综合题，我们能否得到这么一个结论。一般地，最简真分数 （m 为奇数） ，可
6、以写成两个单位分数之和的条件x是：当 ,)1(22nnm时，)( 2121nxi的 质 因 数 ， 不 能 整 除为为 自 然 数 ， 且。m21如果有那位同学能给以证明，那就太好了！启示本堂课的问题虽然看似简单，但要深入下去，却是相当困难的，它牵扯到数学的整数理论“数学王冠上的明珠” 。可是本节课编排，从学生已学过的“分数加减法”基础知识入手，从兴趣出发，启发引导，步步深入，探索研究，不断归纳总结，会得到非常漂亮的结论。它给我们的启示是：看似非常艰深和复杂的问题，只要老师了解学生的实际情况，师生共同努力，教师善于启发引导、适当讨论、归纳和探索，都会解决的。这里结果并不重要，重要的是：在师生互动过程中，学生学到了如何分析问题和如何探索解决问题的思维方法，即初步学习到如何尝试、探索、推理和归纳的思维方法，这对于学生的长远发展是最宝贵的。
