对集合的一点新认识

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1、对集合的一点新认识对集合一点新认识【摘要】： 空集（）是一类特殊集合，在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法，从理论上通过对空集的重新认识阐述，叙述了空集的现行概念、与非空集（）关系及悖论性；初步定义“嵌套集 ”的相关概念及推广。【关键词】： 空集；悖论性；嵌套性；循环节一、对空集（）的认识1空集（）的现有定义不含任何元素的集合称为空集，记作 。2.空集（）与非空集（）之间的关系现行教材的规定：空集（）是一切集合的子集；空集（）是一切非空集（）的真子集。空集（）与非空集（）之间定义了 2 种关系，即“子集” ， “ 真子集”关系；或 c c 3悖论性， “空集的二重性 ”若给定空集（）

2、与集合 a=1，2，那么存在如下命题：（I） a ，理由：集合的定义；（II） c a 或 c a，理由：空集的性质（规定） 。前者反映集合与元素之间关系的唯一性；要么属于，要么不属于；后者反映集合与集合之间关系的明确性，定义出“包含” 、 “不包含”、“真包含”等意义。由此说明空集（）的二元性：在同一条件下，既是集合又是元素，从而说明集合、元素概念的矛盾性（并不完备） 。二、对非空集（）的认识给定 2 个集合 a=1，2，B=1，2，a。试确定二者之间的关系。显然，从集合与元素之间的关系出发，有 a B；若从集合与集合之间的关系考虑，a 与 B 之间满足“真包含” 关系，即 B c a。前者

3、肯定了集合与元素之间的关系，后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集 a 与集 B 究竟应该明确如何关系呢？目前中学教材尚无定论。当问题出现时，老师和学生就不好把握。三、 “属于 ”“ ”， “子集”“ c ”， “真子集”“ c ”在同一条件下的地位分析例证：给定集合 a、B ，a=1 ，2B=1，2，a从现有的教材我们可以看出，集合与元素之间的从属关系在前，集合与集合之间的（真）子集关系在后。这 2 种关系是相对独立的。讨论：1o.如果肯定了 a B,那么就否定了 a 与 B 的子集关系；2o.如果肯定了 a c B,则否定了 a B，也就是不能肯定 a 与 B 的从属关系，进而

4、否定了集合的定义。分析：由于集合与元素之间的从属关系在前，是铺垫、是基石，因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾，排除以子集为元素的情况。我们规定 a c B 任意 a a,则 a B, 且 a B，这样就明确了 a 与 B 资集关系的唯一性。四、嵌套集定义集合 a=1,2,B,B=a.则 a 为嵌套集。其中1，2为嵌套集的循环节。例证推演：设集合 a=1，2， B,且 B=a；则集 a 可作如下的推演，a=1,2,B=1,2,1,2,B=1,21,21,2,B=这里集 a 中存在嵌套元素 B。特例 考察数列an, an= (有 n 个“ ”) ，求 an?(n ).解法一：利用代数方

5、程求解令 a= ，a=an 则有 a=B(n )。注意，这里 a=B 是隐含条件；对 a= 变形得 a2=2B，利用 a=B，求出 a=2.解法二：利用等比数列性质公式求值an= 2 ，等比数列an 的首项和公比都是 1/2，无穷项之和S=1，因此 an2 (n ) .于是得到 =2.从以上两种证法比较看出，利用代数方程求解（嵌套分离）方法较为简单。像这种循环根式如上例 化简都可以通过循环节来建立代数方程求解。思 考：根式化简T1: （提示：由 a2=aa 得到 a=a ）T2: （提示：由 a4=223B 得到 a= ）T3: （提示：由 a6=233B 得到 a= ）求解循环根式重要的是找出循环节；如 T1 式,循环节 ；T2 式, 循环节 ；T3 式,循环节 。然后建立代数方程求解。作者：老*职业技术学校 陈中林