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1、 努 力 打 造 国 内 最 开 放 的 资 源 下 载 基 地 和 最 专 业 的 远 程 教 育 平 台 ！1图形运动与几何证明题中的辅助线添加上海初中数学新教材的特色之一是打破平面几何的公理体系，将平面几何大致分成直观几何、实验几何和论证几何。其编者意图一方面是为了顺利实现几何的入门教学，另一方面通过实验几何中学生的动手操作去发现几何知识并进一步发现解决几何问题的方法。教学中如果能利用好这部分内容对于提高学生的数学素质将很有裨益。由于实验几何又以线段或直线的平移、基本图形的旋转与翻折为核心，而这部分内容对于几何证明题中的辅助线添加又有着非常密切的关系。因为我们可以通过图形运动把几何题中分
2、散的条件汇聚到一个基本图形或者通过图形运动把题目中不很明朗的、比较隐蔽的条件明朗化。本文试图通过图形运动的三种基本形式对平面几何证明题中的辅助线添加作点探索，抛砖以期引玉。一、线段或直线的平移平移的特征是把线段或直线从一个地方移动到另一个地方，通过平移可以将图形中一些分散的条件汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化。特别是对于有些条件比较隐蔽的几何题，往往能起到“柳暗花明又一村”的效果。由于线段或直线在平移过程中保持着线段的长短和角的大小不变，这一结论对于将题目中的有用条件集中到一起从而能比较容易的添加出辅助线以达到解题的目的很有好处。例、如图一，在梯形 ABCD 中，A+B=90，ABCD
3、，M、N 分别是 AB、CD 的中点，求证：MN= （ABCD） 。12分析：观察本题的已知条件90中的、分别为梯形的两个底角不利于这一条件的应用。比较理想的是将这两个角放到一个三角形中，从而可以利用直角三角形的有关性质来解决。又考虑到通过线段的平移可以将一个角从一个位置移动到另一个位置，这样，就想到过点作的平行线。也就是将线段平移到线段，可以得到。自此不难发现（ABCD）AP。而 AP 为直角三角形 ADP的斜边，要证 MN AP，只要证等于边12上的中线，因此，想到取线段 AP 的中点 G 并连结DG，这样只要证明=MN，只需证明四边形 DGMN 为平行四边形就可以了。这由GM=AMAG=
4、 （ABAP）= B CD= DN 及 ABCD 即可证明。12证明从略。例、求证：两中线相等的三角形是等腰三角形。已知：如图二，ABC 中，、分别是 AB、AC 的中点，BECD。求证：ABAC。分析：本题中的 BECD 不能直接应用，而证明ABAC 的基本思路是证明ABC=ACB,因此只需证明BCECBD,只需证明EBC=DCB,要证明这两个角相等就需要把这两个角中的一个进行移动。考虑到线段的平移能把一个角从一个地方移动到另一个地方，故过点作的平行线并和 BC 的延长线相交于 F,从而把平移到位置。只需证明，而连结、后，DEBC，容易证明四边形为平行四边形，从而原命题可证。证明从略。例、由
5、平行四边形 ABCD 的顶点作它的高 AE、AF，已知 EF，AC（如图三） ，求点D N CA G M P B 图 一 图 二 努 力 打 造 国 内 最 开 放 的 资 源 下 载 基 地 和 最 专 业 的 远 程 教 育 平 台 ！2FENM CB DA到AEF 的三条高的交点的距离。分析：若从已知条件直接求相当困难。而题目中的基本图形是平行四边形，平行关系较多，如、FHCEAG 等等,因此可以考虑将图中的某些线段进行平移。故将 AE 平移到 CG。这一平移既保持了 CG=AE，又有 CGAD。从而 EG=AC，由于四边形 HECF 为平行四边形，四边形 AECG 为矩形，所以 HF=
6、CE=AG，从而四边形AHFG 为平行四边形，AH=FG，又AHEF ，GFAH，EFG 为直角三角形，所以 。本题EGF2ba2的解题关键是将平移到并由此得到若干个相等线段和平行四边形，由此可见，线段或直线的平移对于几何题中的辅助线添加有着非常重要的作用。证明从略。二、图形的旋转图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着一个确定的点从一个位置移动到另一个位置。通过旋转可以把题目中一些不明朗的关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程中旋转部分两点之间的距离不变、两直线间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转角。它的使用范围一般是等腰三角形或中心对称图形。有时再结合基本辅助线添加更能体现其在添加辅助线中的优势
7、。例、如图四，已知ABC 中，点 M 是 BC 边上的中点，过 M 作BAC 的平分线 AD 的平行线交AB 于 E，交 CA 的延长线于 F 点。求证：BE=CF分析：这一题的已知条件中有 M 是线段 BC 的中点，即点 M 为线段 BC 的对称中心，同时考虑到相似三角形中的基本图形“8”字形，故可将FMC 绕中点 M旋转 180，这时线段 CF 也由原来的位置移动到线段BN 位置，而 BN、E 同在BEN 中，只要证明BEN为等腰三角形即可。而，BEM=FEA，只要证明FEA=F。又F=CAD，FEA=BAD，AD 又是角平分线，从而此题可证。此题的解题关键在于将线段 CF 旋转到线段 B
8、N，从而将要证明相等的两条线段集中到一个三角形中，而这一考虑正是基于点 M 为线段 BC 的中点（对 称中心） ，因此，有中心对称图形的几何题的辅助线添加不妨仿此一试。 证明从略。例 5、设 P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 PA=5，PB=4，PC=3，求此等边三角形的边长。分析：如图五，本题的难度在于已知的PA、PB、PC 是分散的，难以直接利用，因此必须添加辅助线。又由于ABC 为等边三角形，从而可以考虑到利用旋转法来添加辅助线。但将那一部分旋转又怎样怎样旋转呢？注意到 CA=CB=AB，因而将ACP绕 C 点按逆时针旋转 60，点 A 到达点 B，点 P 到达点 D，即ACPBC
9、D， 此时PCD 是等边三角形。PD=3，BD=AP=5，PB=4，根据勾股定理的逆定理知BPD=90。过 B 点作 CP 的垂线交 CP 的延长线于E。BPE=180，从而， ，CE=3+2 这样可以通过3 图 三A E P B C D 图 五 努 力 打 造 国 内 最 开 放 的 资 源 下 载 基 地 和 最 专 业 的 远 程 教 育 平 台 ！3直角三角形 CBE 的斜边长求出三角形 ABC 的边长。证明从略。例 6、在等腰直角三角形 ABC 中 E、D 分别是直角边 BC、AC 上的点，且 CE=CD。过 C、D 作 AE的垂线交斜边 AB 于 L、K，求证：BL=LK。分析：如
10、图六，欲证 BL=LK，由于三角形ABC 为等腰直角三角形，即 CA=CB，因此可以将直角三角形 CAE 绕 C 点旋转 90得到直角三角形CBF。这时点 A、D、C、E 在一条直线上且有CF=CE=CD，因此只要证明 BFLCKD，只要证明FBC=LCB，而FBC=EAC，只要证明LCB=EAC，这一点利用同角的余角相等即可得到该结论。证明从略。三、图形的翻折翻折就是将图形中的一部分沿着一条直线进行翻折。通过翻折可以构造出轴对称图形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基本特点是各个对称点到对称轴的距离相等，因此利用图中的已知相等线段并以其对称轴为对称轴构造轴
11、对称图形是一种常见的辅助线添加方法。例、如图七，已知：ABC 中，AD 为BAC 的平分线，EF 为 AD 的垂直平分线 ，EF、BC 交于 F，求证：DF 2=FCFB。分析：这个题目中既有角平分线又有线段的垂直平分线，它们分别是这两个基本图形的对称轴，若要翻折将那一部分翻折？结合结论中的线段 DF、FC、FB 都在一条直线上证明起来很不方便，因此考虑到将DFE 沿着直线 EF（EF 为线段AD 的对称轴）翻折。故连结 A、F。这时，只要证明 AF2=FCFB，只要证明ACFABF，只要证明FAC=FBA。由于 FA=FD，所以FAD=FDA，ADF=B+BAD，FAD=FAD+CAD，而B
12、AD=CAD 为已知，故命题得证。证明从略。例 8、如图八，已知ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，P 是 AD 上任一点，求证：AB。分析：由于 P 点在BAC 的平分线上，直线 AP 是BAC 的对称轴。又因为线段AB、AC、PB、PC 在图中相对分散，因此可将ABP 沿着直线 AD 翻折得到AEP。这时，AE=AB，PE=PB，ABAC=AEAC=CE。因此只要比较 PEPC 与 CE 的大小，而这一点在PCE 中是显然的。证明从略。例 9、如图九，在等腰直角三角形ABC 中，E、F 分别是底边 BC 上的两点，且EAF=45。求证：以 BE、EF、FC 为边的三角形为直角三角形。分
13、析：线段 BE、EF、FC 在一条直线上，要证明它们能组成直角三角形，关键是将它们移到一个三角形中以便于找到其边或角之间的关系。所以将ACF 沿着直线 AF 翻折得到ADF，这时 DF=CF，考虑到移动的目的，F C E D B L K A 图 六 A E B D C F 图 七 A P B D C E 图 八 A B E F C 图 九 D 努 力 打 造 国 内 最 开 放 的 资 源 下 载 基 地 和 最 专 业 的 远 程 教 育 平 台 ！4连结 DE 并期望着 DE=BE。故想到证明ABEADE。因为CAF=DAF，所以DAE=BAE。又AD=AC=AB，故ABEADE。ADE=B=45，而ADF=C=45，所以EDF 为直角三角形。即BE、EF、FC 组成直角三角形。本题的翻折主要着眼于要将三条线段 BE、EF、FC 移到一个三角形中。证明从略。图形运动与辅助线添加关系非常密切，恰当的运用图形运动方法有时能起到事半功倍的效果。对于有些特殊图形甚至几种方法都能凑效。例如，例九中还可以将ACF 绕 A 点顺时针旋转 90来得到ABD（如图十）并通过证明BDE 为直角三角形证明这一命题。只要能抓住图形的基本特征，运用图形运动来添加辅助线一般来说是有一定的效果的。A DB E F C 图 十
