《名校之门2011届高三数学精品复习之(20)多面体与球》由会员分享，可在线阅读，更多相关《名校之门2011届高三数学精品复习之(20)多面体与球（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011 届高三数学精品复习之多面体与球1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心 三侧棱相等或三侧棱与底 面所成的角相等；内心 三侧面与底面所成的二面角相等；垂心 相对 的棱垂直。正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直 顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心 三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。举例 1 已知三棱锥 SABC 的底面是正三角形，点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是 解析：点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是SBC 的垂心，点 S 在底面 ABC 上的射影 O 为
2、ABC 的垂心；又ABC 为正三角形，O 为ABC 的中心，即三棱锥 SABC 为正三棱锥。记 SO=h（h a） ，则 AO= 2ha，于是有：AB= )(32ha,记三棱锥 SABC 体积为 f(h)，则 f(h)= h)(432，f /(h)= )(42，f max(h)= )3(af= 63.来源 :学科网 ZXXK举例 2 下面是关于 三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.来源:学科网底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二
3、面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.解析：侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影 O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故 O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；在三棱锥SABC 中，令 AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影 O 到底面三边的距离相等，但这不意味着 O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点） ，故三棱锥未必是正三棱锥；侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影
4、 O是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且 O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。巩固 1已知三边长分别为 4、5、6 的ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点 P 到ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥 P-ABC 的体积为： （ ）A 8 B10 C20 D30来源:学| 科|网巩固 2对于四面体 ABCD，给出下列四个命题若 AB=AC，BD=CD，则 BCAD 若 AB=CD， AC=BD，则 ADBC若 ABAC，BD CD，则 BC AD 若 ABCD，BD AC，则 BC AD其中真命题
5、的序号是 。 （写出所有真命题的序号）2关注长方体对角线的性质： 长方体的对角线与过一个 顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为 1；长 方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平 方和为 2；来源:Zxxk.ComA BCDA1 B1C1D1C1B1A1A CC2A2B图 3-1 图 3-2A1ACB1C1BH举例已知锐角 、 、 满足：cos 2+ cos2+ cos2=1,则 tantantan的最小值为 。解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由 cos2 + cos2 + cos2=1 联想到锐角 、 是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为
6、 a、 b、 c,则 tan tantan= cbabac22= ，当且仅当 a=b=c 时，等号成立。巩固已知空间三平面 、 、 两 两垂直，直线 l与平面 、 所成的角都是 300，则直线 l与平面 所成的角是 。3求多面体的体积常用“ 割补法”，关注 组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥 ”的 体积的 3 倍；求 “锥”的体积关键是“高”， “等积转换”是常用的办法。举例 1以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的： （ ）A 61 B 41 C 1 D 5解析：如图，以 A1B 和 B1C 的端点为顶点的四面体
7、是三棱锥 A1-BB1C，将原平行六面体视为四棱柱ADD1A1-BCC1B1，易见三棱锥的底面积是四棱柱来源:Zxxk.Com的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是四棱柱的体积的 6，选 A。举例 2 如图 3-1 是一个直三棱柱（以 1BC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC已知 11BC， 90o， 14， 12， 13求此几何体的体积 （07 高考江西理 20）解析：过 作截面 2A 面 1，分别交 1, 于 , 如图 3-2，原几何体可视为四棱锥 B-ACC2A2与三棱柱 A1B1C1-A2BC2 的组合体。作 H于 ，则 BH 是四棱锥的高， 2， 2)(233122
8、HSVACACB1121SVABCA=1；故所求几何体体积为 。巩固 1在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧面 A1ABB1 是菱形，侧面 BCC1B1 是矩形，C1B1AB，求平面 C1AB1把棱柱分成两部分的体积的比。巩固 2 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE、BCF 均为正三角形，EF/AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A 32B 3C 4D 24解决多面体表面上两点间距离最小值的问题，常运用 侧 面展开法 ，转化为平面图形两点间距离处理。 （多面体展开时要注意各种不同的展开方式）。举例 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB
9、=BC= 2，BB 1=2，ABC=90 0，E、F 分别为AA1、C1B1 的中点，求沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度。解析：题中 E、F 分别在 AA1、C 1B1 上，所以“展开”后的图形中必须有 AA1、C 1B1；故“展开”方式有以下四种：来源:Z。xx。k.Com（）沿 CC1 将面 ACC1A1 和面 BCC1B1 展开至同一平面，如图 4-1，求得：EF 2=2；（）沿 BB1 将面 ABB1A1 和面 BCC1B1 展开至同一平面，如图 4-2，求得：EF2= 7；来源:Z*xx*k.Com（）沿 A1B1 将面 ABB1A1 和 面 A1B1C1 展开至同一
10、平面，如图 4-3，求得：EF2= ；（）沿 A1C1 将面 ACC1A1 和面 A1C1B1 展开至同一平面，如图 4-4，求得：EF 2= 9； 来源:学科网可见 EF 的最小值为 23。EFA BCA1C1B1EA CA1 B1BFC1图4-1EA BA1 C1CFB1图 4-2EA BA1C1FB1图 4-3EA CA1B1FC1图4-4A BCPACPB巩固在正三棱锥 S-ABC 中，SA=1，ASB=30 0，过点 A 作三棱锥的截面 AMN，求截面 AMN周长的最小值.5平面截球所得到的截面是圆，圆心与球心的连线垂直于截面；截面 圆的半径、 圆心与球心的连线段、球的半径所构成的直
11、角三角形是解决球的截面 问题的“核心”图形。举例如图，已知 A，B，C 是表面积为 48的球面上的三点，AB=2，BC=4，ABC=60 0，O 为球心，则二面角 O-AB-C的大小为： （ ）来源:Zxxk.ComA 3 B 4 Carccos 3 Darccos1解析：球的半径为 32；ABC 为直角三角形，斜边 BC 是其外接圆的直径，记 BC 的中点为 O1，则 OO1面 ABC，在 RtOO 1B 中，OB= 32，BO1=2，OO 1= ；取 AB 中点 D，连 OD、O 1D，则 ABOD ，ABO 1D，ODO 1 是二面角 O-AB-C 的平面角，在 RtABC 中 O1D=
12、 2AC= 3故在 RtOO 1D 中，OD= 1,cosODO 1= 3,ODO 1= arccos ,选 D。巩固过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与求的表面积的比为 。6求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体（正方体）的 对角线是其外接球的直径；将多面体“补” 成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。举例 1 三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC，ABBC，若 PA=AC= 2，则该三棱锥的外接球的体积是 。来源:学科网 ZXXK解析：思路一：“找球心” （到三棱 锥四个顶点距离相等等的点） 。注意到 PC 是 RtPAC 和 RtPB
13、C 的公共的斜边，记它的中点为 O，则 OA=OB=OP=OC= 21PC=1，即该三棱锥A BCDPOO1的外接球球心为 O，半径为 1，故它的体积为： 34方法二：“补体” ，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线 PC 是其外接球的直径。举例 2正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 62，则这个球的表面积为 。来源:Z#xx#k.Com解析：正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上，记为 O，PO=AO=R，PO 1=4，OO 1=R-4，或 OO1=4-R（此时 O在 PO1的延长线上） ，在 RtAO 1O 中，R
14、2=8+(R-4)2得 R=3，球的表面积 S=36巩固 1 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 2cm、4 2和 3 2cm，那么它的外接球的体积是 。巩固 2 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （07 高考陕西理6）（A） 43 (B) 3 (C) 43 (D) 123迁移点 P 在直径为 2 的球面上，过 P 两两垂直的 3 条弦，若其中一条弦长是另一条的 2倍，则这 3 条弦长之和的最大值是 。7球面上两点间的球面距离是 “球心角”（两点与球心的连线段的夹角）的弧度数与球的半径的积。举例 设球 O 的半径是 1，A、B、C 是球面上三点，已知 A 到 B、C 两点的球面距离都是2，且二面角 B-OA-C 的大小为 3，则从 A 点沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是：（A） 67（B） 45（C） 34（D） 23 （07 高考四川理 6）解析：球 O 的半径是 1，A 到 B、C 两点的球面距离都是 2，AOB=AOC= 2，BOC 就是二面角 B-OA-C 的平面角， BOC = 3，故 B、C两点间的球面距离为 3；从 A 点沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离即 A、 B、C 两两间的球面
