专题二：整除及余数问题

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1、2013 年寒假专题训练专题二：整除、余数问题【一】基础训练1.用 16 这 6 个数字(每个数字只能用一次)，组成一个六位数 ，使得三位abcdef数 、 、 、 能依次被 4、5、3、11 整除。求这个六位数。abcdef解：因为 ，所以 。又因 ，所以， 是 11 的倍数。但是5|1|defdfe6，1e3 ，因此，只能 =0，即 5+ 。又 6， ，故只能1dfff1f， 。又因 3 ，即 3 ，所以， 能被 3 整除。而 ，可知 为偶数，只能|ce|565c4|abc。进一行推知 ， 。故 。42ba2561bdef2.只修改 21475 的某一位数字，就可以使修改后的数能被 225

2、 整除。怎样修改？解题思路：本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。因为225259 ，所以要修改后的数能被 225 整除，就是既能被 25 整除，又能被 9 整除。被 25 整除不成问题，末两位数 75 不必修改，只要看前面三个数字。有2147519181278，不难得出上面四种答案。解：3.如果六位数 1992能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？解：因为 19929910518989，所以 1992999199290 就是 105 的倍数，所以填的两位数是 90。4.某个七位数 1993能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少

3、？解题思路：2013 年寒假专题训练依题意，能同时被 2 和 5 整除的数，其个位一定是 0，其次 该数若是 8 和 9 的倍数就一定是 2、3、4、6 的倍数，所以所求的数只需 满足能被 7，8，9 整除。(1)若能被 9 整除，百位与十位的和就是 5 或 14，后三位有可能是500，410，320，230,140，050，950，860，770，680，590；(2)把上面的数用 8 来检查，即 8 的倍数应该检查末三位，只有 320 和 680；(3)最后用 7 来检查，只有 320 可以。所以最后的三位数是 320。解：5.用数字 6、7、8 各两个， 组成一个六位数，使它能被 168

4、 整除。这个六位数是多少？解题思路：168738，要是 7 的倍数，那么 这个题中就一定是 的形式。abc1001 ，那么 必须是 3 和 8 的倍数， 67821，保 证了 3 的abcabc倍数，而要满足能被 8 整除就只有 768，所以六位数是 768768。6.找出四个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除。如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？解题思路：如果最小的数是 1，则和 1 一起能符合“和被差整除 ”这一要求的数只有 2 和3 两数，因此最小的数必须 大于或等于 2。所以先考察 2、3、4、5 这四

5、个数，仍不符合要求，因为 527，不能被 3 整除。再往下就是 2、3、4、6，经试算， 这四个数符合要求。7.把若干个自然数 1、2、3、乘在一起，如果已知这个乘积的最末 13 位恰好2013 年寒假专题训练都是 0，那么最后那个自然数最小应该是多少？解：1234550，50510(个)5 的倍数，50252(个) 25 的倍数。即1234550 的积中有 12 个 0，所以 (1234555)的乘积的最末 13 位恰好都是 0。即乘到最后的那个自然数最小应该是 55。8.975935972，要使 这 个连乘积的最后四个都是 0，那么方框内的数最小是多少？解：四个 0 就说明至少 4 个 2

6、 和 4 个 5，975 中 2 个 5，935 中 1 个 5，972 中 2 个2，还差 1 个 5 和 2 个 2，所以方框中至少是 22520。9.试找出这样的最小自然数，它可被 11 整除，它的各位数字之和等于 13。解：显然，这样的自然数不可能为两位数，因 为如果是两位数，则必然具有形式，但 为偶数，与它的各位数字之和等于 13 矛盾。设所求之数为三位x2x数 。即 ： ；： 是 11 的倍数； ：所求之数为最小。有yz13yzxyz： =11。得 。于是 12，由于 ，从而 。当x9z3x时， 。所以，所求的最小自然数是 319。39z10.173是个四位数字。数学老 师说：“我

7、在这个中先后填入 3 个数字，所得到的3 个四位数，依次可被 9、11、6 整除。 ”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？解：因为能被 9 整除的四位数的各位数字的和是 9 的倍数，并且四位数 173的数字的和为：17311，因为内的数字最大不超过 9，所以内只能填7。因为能被 11 整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是 11 的倍数。所以(7)(13)3 应是 11 的倍数。同理：内只能填 8。因为能被 6 整除的自然数是偶数，并且数字和是 3 的倍数，而2013 年寒假专题训练17311由此可知内只能填 4。78419。所求的和是 19。11.一个两

8、位数去除 251，得到的余数是 41。求 这个两位数。分析：这是一道带余除法题，且要求的数是大于 41 的两位数。解题可从带余除式入手分析。解：12.用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16。被除数、除数、商数与余数的和是 933，求被除数和除数分别是多少？解：被除数=除数 商余数，即被除数除数40 16。由题意可知：被除数除数9334016877，所以（除数40+16）+除数=877。所以，除数4187716，除数=86141，除数 =21，所以被除数=2140+16=856。答：被除数是 856，除数是 21。13.两数相除商是 8，余数是 16，被除数、除数、商和余数的和是 4

9、63。被除数是多少？解：14. 一个两位数除 474，余数是 6，求符合条件的所有两位数。分析：被除数是 474，余数是 6，那么，被除数余数除数 商，因此可以求出除数与商的积，然后将这个积分解质因数，求出它的两位数约数即可。解：15.用 5 除余 2，用 6 除余 5 的数，求 1200 中所有这样的数。解：5，630，被 5 除余 2 的数有：7，12， 17，而在这一列数中，被 6 除余 5的数最小是 17。所以满足条件的数就有：17300 17 ； 1730147； 1730277 ； 17303107；17304 137 ； 17305167； 17+306197 。2013 年寒假

10、专题训练16.一个数除 200 余 5，除 300 余 1，除 400 余 10，这 个数是多少？解：2005195，3001299， 40010390，则 195，299，390 均能被所求的数整除1951315 ，2991323，3901330故同时能整除 195，299，390 的数为 13。17.某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日， 问这年的 10 月 1 日是星期几？解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天，因 为 31743，所以根据题意可知：有5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。所以这年的 10 月 1 日是星期四。18.3 月 18 日是星期日，从 3 月 1

11、7 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日（第二天），15 日（第三天），）的第 1993 天是星期几？解：每周有 7 天， “从 3 月 17 日作为第一天开始往回数 1993 天”,换句话为“从 3 月18 日作为第一天开始往回数 1994 天”。即：(1993 1)7284（周）6（天），从星期日往回数 6 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。19.一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。分析：“除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”，同样“除以 6 余 4”即“ 加 2 后被 6 整除”。解：20.一个数除以 3 余

12、2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。21.某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的 15 日是星期几。解：三个星期日的偶数日期分别为 2、16、30 号。所以这个月的 15 日是星期六。2013 年寒假专题训练22.一些桔子分给若干个人，每人 5 个还多余 10 个桔子。如果人数增加到 3 倍还少 5 个人，那么每人分 2 个桔子还缺少 8 个， 问有桔子多少个？分析：先要转化条件“3 倍 还少 5 人” 。假设再补 10 个桔子，同时可以再补 5 个人， (把“ 少 5 人”这一条件暂时搁置一边)只考虑 3 倍人数，也相当于按原人数每人给 236（个）

13、。所以原题更直观地理解为 “每人 5 个还多余 10 个桔子，每人分 6 个桔子 还缺少 18 个桔子(补的 10本来缺的 8 个）。”所以原有人数 28(65)28（人）。桔子总数是 52810150（个）。答：有桔子 150 个。23.小明骑自行车从甲地到乙地去。出发的时候，心里盘算了一下，慢慢地 骑，每小时骑 10 千米，下午 1 点才能到；使劲地赶路，每小时骑 15 千米，上午 11 点就能到。小明要中午 12 点到，每小时应骑多少千米？解：1 点到比 11 点到多用 2 小时，相差 10220 千米。每小时多骑(15-10)千米，需要：20(1510)4（小时）提前骑完这 20 千米

14、。甲地到乙地距离是 15460(千米) ，要 12 点到，每小时应骑 60(41)12(千米)。答：要 12 时到，每小时应骑 12 千米。24.一筐苹果，如果按 5 个一堆放，最后多出 3 个。如果按 6 个一堆放，最后多出4 个。如果按 7 个一堆放，还多出 1 个。这筐苹果至少有几个？25.求被 6 除余 4，被 8 除余 6，被 10 除余 8 的最小整数。2013 年寒假专题训练26.求被 6 除余 4，被 10 除余 8，被 9 除余 4 的最小整数。27.求被 4 除余 2，被 6 除余 4，被 9 除余 8 的最小整数。28.求被 3 除余 2，被 7 除余 3，被 11 除余

15、 4 的最小整数。29.一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，适合这些条件的最小的数是多少？30.小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小胖和小妹二人每人分 4 个，其余每人分 2 个，还多出 4 个，如果小胖 1 人分 6 个，其余每人分 4 个，又差 12 个。那么小胖家有几个人，这筐梨子有几个？31.假设兵不满一万，每 5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、17 人一列都剩 3 人，则兵有多少？32.求被 5 除余 2，被 6 除余 5，在 100 至 200 之间所有这样的数。2013 年寒假专题训练33.一个自然数被 5，6，7 除时余数都是 1，在 10000 以内，这样的数共有多少个？34.有一个整数，用它去除 63、91、129 得到三个余数之和是 25，这个整数是多少？35.求被 5 除余 2，被 7 除余 2，被 9 余 1 的二位数。36.一个布袋中装有小球若干个。如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最后都剩 2 个。布袋中至少有小球多少个？37.已知： ，问： 除以 13，余数是几？19aL43个 a38.在 100 至 200 之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被 3 整除，中 间的能被 5