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1、第八章 二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题.8.1 二次型及其矩阵表示在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：(1.1)220axbycdxeyf要区分(1.1)式是哪一种曲线( 椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去项,通常的坐标变换公
2、式为:xy(1.2)cosinixyy从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换 .因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项 .这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式.定义 8.1.1 设 是数域 上的 元二次齐次多项式:fPn(1.3)21211213221, 1,(,) nnnnxaxaxLL称为数域 上的 元二次型,简称二次型. 如果数域 为实数域 ,则称 为实二次型; 如果PnPRf数域 为复数域 ,则称 为复二次型; 如果二次型中只
3、含有平方项,即Cf22121(,)n nxdxdxLL称为标准形式的二次型,简称为标准形.说明: 在这个定义中,非平方项系数用 主要是为了以后矩阵表示的方便.ija例 8.1.2 下列多项式都是二次型: 2222(,)343fxyxyzzyz下列多项式都不是二次型:2232(,)143fxyxyzz定义 8.1.3 设 是两组文字,系数在数域 中的一组关系式1212,;,nnxLP(1.4)1212212nnnncycyxL称为由 到 的一个线性替换,或简称线性替换. 如果系数行列式12,nxL12,y,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.0ijc在研究二次型时,矩阵是一个有力工具,因此我们
4、先把二次型用矩阵来表示.令 , 则有 , 于是(1.3)式可以改写为ijjiaijijjiaxax212112122121221(,)()n nnnnnnnfxaxaxLLLL12121212121212(,)(,)nnnnnnaxaxxaaxxLLLM记 12112212,nnnnaaxAL则二次型可记为 , (1.5)TfxA其中 是对称矩阵. 称(1.5)式为二次型的矩阵形式.例 8.1.4 二次型 的矩阵形式为222(,)343fyzxyzyz32321(,)(,)xfxyzyz说明: 任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵. 反之,任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型. 因此, 二
5、次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系. 把对称矩阵 称为二次型A的矩阵,也把 称为对称矩阵 的二次型. 称对称矩阵 的秩为二次型的秩.ffAA例 8.1.5 给定对称矩阵 1231034则其对应的二次型为: 2 221234113432434(,)66fxxxxxx对于二次型 ,作线性替换 ,其中TfAyC12112212,nnnnccyLM则 ()()TTTTfxyyyACAC令 , 则有 ,即 是对称矩阵.这B()TBACB样, 对称矩阵 同样定义了一个二次型. 于是, 线性替换将二次型化为二次型.定义 8.1.6 设 是数域 上的 阶方阵,如果有数域 上的 阶可逆矩阵 ,使得,PnPnT
6、CAB则称矩阵 与 合同, 记作 .AB;合同是矩阵之间的一个关系.易知,合同关系具有:(1) 反身性: 即 与 合同，因为 ;TE(2) 对称性: 即若 与 合同，则 与 合同，因为由 ,即得ABATBCA;1()TACB(3) 传递性: 即若 与 合同， 与 合同，则 与 合同，由 和C1T,即得 .2T21212()()TT说明: 经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 . 这样, 我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以后的讨论提供了有力的工具.另外， 在二次型变换时,我们总是要求所作的线性替换是非退化的, 因为这样我们可以把所得的二次型还原.定理 8.1.7
7、若 与 合同,则 .ABrankAB证明: 因为 与 合同,所以存在 阶可逆矩阵 ,使得CT由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩,故 .rankAB说明: 这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证. 这样,若 是对角矩阵,则非退化的线性替换 就把二次型化为了标准形. 因此, 把二次型化为标准形的问题其实质是: 对xyC于对称矩阵 ,寻找可逆矩阵 ,使得 为对角矩阵.ATC8.2 化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题. 1 配方法定理 8.2.1 数域 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形,即只含有P平方项.证明: 对变量的个数 作数学归纳法.n对于 ,
8、二次型就是 , 显然已经是平方项了. 现假定对 元的二次型,定1n211()fxa1n理的结论成立.再设 21, ()nijijjiiaxL分三种情形来讨论:(1) 中至少有一个不为零,例如 ,这时(1,2)ian102121122221121 2212,()()nnnnji ijj ij ijjinnnj j ijj jij ijjfxaxxaaxaxaxaxaxabL2i这里 1222()nnnij j iji jibxaxax是一个关于 的二次型.令3,nL1122njjnyxaxyxL即 1122njjnxyayxyL这是一个非退化线性替换,它使 21212(,)nnijifxayby
9、L由归纳法假定,对 有非退化的线性替换2nijiby22323323nnnnzcycyzLL能使它变成平方和 223ndzdzL于是非退化线性替换 12232nnnzyccyzLL就使 变成12(,)nfxL2221213(,)n nfxazdzdz即变成平方和了.根据归纳法原理,定理得证.(2) 所有 都等于零 ,但是至少有一个 ,不失普遍性, 设(,)ia10(,)jL.令120a1223nxzxzL它是非退化线性变换,且使 12121212(,)()nfxaxzzLL这时,上式右端是 的二次型,且 的系数不为零,属于第一种情况,定理成立.12,nz(3) ,由对称性知120aaL2131
10、0naaL这时 是 元的二次型, 根据归纳法假定,它能用非退化线2(,)nijifxx性替换变成平方和. 证毕.例 8.2.2 用配方法化二次型 2212313132(,)56fxxxx为标准形,并写出所用的非退化线性替换.解: 由定理的证明过程,令, 即 12323yx12323xy得: 22123123(,)4fxyy上式右端除第一项外已不再含 , 继续配方,令1, 即 233zy1233yz得: 21231(,)fxz所有的非退化线性替换为12323xz例 8.2.3 用配方法化二次型 1234123142343(,)fxxxx为标准形,并写出所用的非退化性替换.解: 由定理的证明过程,
11、 令 12234xy代入原二次型得: 212341131434(,)2fxyyy这时 项不为零,于是21y2223413143421 32 2343412()() ()12()fxyyyyyyy令 134234412zyyzy于是, 22123413(,)fx其中 的系数为零,故没有写出.4z为求非退化线性替换, 我们可将第二个替换代入第一个替换中, 得12342344xzzzx说明: 在用配方法化二次型为标准形时,必须保证线性替换是非退化的. 有时,我们在配方过程中会遇到看似简单的方法,但得到的结果未必正确.如 22123131323(,)()()fxxxx若令 12233yx则 .2212
12、313(,)fxy然而, 0所以, 此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的.2 初等变换法由于二次型与对称矩阵一一对应, 所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到, 由8.1 我们知道,矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是,定理 8.2.1 可以用矩阵的语言描述出来.定理 8.2.4 数域 上任意一个对称矩阵 都合同于一对角矩阵 . 即存在可逆矩阵 , PADC使得(2.1)12T nddOCD现在我们就根据定理 8.2.4, 讨论用矩阵的初等变换来求定理 8.2.4 中的可逆矩阵 及对C角矩阵 . 由前面的知识,我们知道,可逆矩阵 可以表示为有限个初等矩阵DC
13、的乘积,即 12,mLP 1212mmLPEP(2.2)将(2.2)式代入(2.1)式, 得(2.3)212TTmmLLPAPD(2.3)式表明,对对称矩阵 施行 次初等行变换及相同的 次初等列变换, 就变为A了对角矩阵 . 而(2.2) 式表明对单位矩阵 施行上述的初等列变换, 就变为可逆矩阵 . DEEC这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵 及对角矩阵 ,使得 与 合同的方法称为初等变CA换法. 具体做法: 对以 阶对称矩阵 和 阶单位矩阵 做成的 矩阵进行初等变换nAn2n2n 对 施 行 初 等 行 变 换 对 矩 阵 施 行 相 同 的 初 等 列 变 换 DEC则 .TCAD例 8.2
14、.5 已知对称矩阵 1235A用初等变换法求可逆矩阵 及对角矩阵 ,使得 与 合同.CD解: 3121 ()()1003225540 1100rrc c AE32()0120rc 所求可逆矩阵 及对角矩阵 为:CD11002,且 .TCA例 8.2.6 已知二次型1231232(,)6fxxx用初等变换法将其化为标准形,并求非退化的线性替换.解: 二次型对应的矩阵为: 013A于是有, 2112 12()120 013030 00rrc c AE31 321 12 2(4)1 12 200630r rc c 故非退化线性替换为 111222330xy这样,二次型化为 22136fyy8.3 惯性定理我们知道, 二次型与对称矩阵一一对应,并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵. 又因为合同不改变矩阵的秩, 这样一来, 任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的,就是矩阵的
