二次函数与圆总结

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1、初三数学专题复习- 二次函数与圆 六安阳光教育集团阳光教育培训中心 阳光精英班复习专用资料1. 一元二次方程的一般形式: a0 时，ax 2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的 a、 b、 c； 其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程

2、根的判别式: 当 ax2+bx+c=0 (a0)时，=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根；0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系： 当 ax2+bx+c=0 (a0) 时，如 0，有下列公式：.acxabx)(a2c4bx)1( 21212, ，； 5当 ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 c2121， ；=b 2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 ab= 0 且 0 b = 0 且 0；（2）两根互为倒数 c=1 且 0 a =

3、c 且 0；（3）只有一个零根 a= 0 且 0 c = 0 且 b0；（4）有两个零根 c= 0 且 b= 0 c = 0 且 b=0；（5）至少有一个零根 a=0 c=0；（6）两根异号 c0 a、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 ac0 且 b0 a、c 异号且 a、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 0 且 0 a、c 异号且 a、b 同号；（9）有两个正根 ac 0， b0 且 0 a、c 同号， a、b 异号且 0；（10）有两个负根 0， a0 且 0 a、c 同号， a、b 同号且 0.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项

4、式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c= a2c4bxa24x.7求一元二次方程的公式： x2 -（x 1+x2）x + x 1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为 x）：初三数学专题复习- 二次函数与圆 六安阳光教育集团阳光教育培训中心 阳光精英班复习专用资料(1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.9分式方程的解法： .0)1( ） ， 值（ 或 原 方

5、 程 的 每 个 分 母验 增 根 代 入 最 简 公 分 母公 分 母两 边 同 乘 最 简去 分 母 法 .0.2 分 母 ， 值验 增 根 代 入 原 方 程 每 个换 元凑 元 ， 设 元 ，换 元 法）（10. 二元二次方程组的解法： .0)3(2)4(10)(2)3(10)4(321)3( ;2 ;1 分 组 为应注 意 ： 的 方 程）（）（中 含 有 能 分 解 为方 程 组） 分 解 降 次 法（ 程中 含 有 一 个 二 元 一 次 方方 程 组法） 代 入 消 元（11几个常见转化： ；或 ； )x(x4)x()x(x2)1x( 2)1x(x)x()()()1( 2121

6、2121212 2212121212124.2)( 21221 ）两 边 平 方 为 （ 和分 类 为； .,)2( 34x3)916x(34x)( 2121221 因 为 增 加 次 数两 边 平 方 一 般 不 用和分 类 为或；.0x,:.1x BsinAco,1csAsin,9BAsin,Asin)( 2121 22 注 意 隐 含 条 件可 推 出 由 公 式时且如 .0x,:.x,), ,(,)5( 2121 注 意 隐 含 条 件的 关 系 式推 导 出 含 有公 式等 式 面 积例 如 几 何 定 理 ， 相 似 形系可 利 用 图 形 中 的 相 等 关时若 为 几 何 图

7、形 中 线 段 长 .k,)6( ”辅 助 未 知 元“引 入些 线 段 的 比 ， 并 且 可 把 它 们 转 化 为 某比 例 式 、 等 积 式 等 条 件角 三 角 形 、 三 角 函 数 、如 题 目 中 给 出 特 殊 的 直., ;,)7( 知 数 的 关 系但 总 可 求 出 任 何 两 个 未般 求 不 出 未 知 数 的 值 少 一 个 时 ， 一方 程 个 数 比 未 知 数 个 数一 般 可 求 出 未 知 数 的 值数 时方 程 个 数 等 于 未 知 数 个初三数学专题复习- 二次函数与圆 六安阳光教育集团阳光教育培训中心 阳光精英班复习专用资料1.垂径定理及推论:

8、 如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理，即“垂径定理” “中径定理” “弧径定理” “中垂定理”. 几何表达式举例： CD 过圆心CDAB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦” ； “等弦对等角” ； “等角对等弧” ； “等弧对等角” ；“等弧对等弦” ；“等弦对等(优，劣)弧” ；“等弦对等弦心距” ；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD4圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条

9、弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3） “等弧对等角” “等角对等弧” ；（4） “直径对直角” “直角对直径” ；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1） （2） （3） （4）几何表达式举例：（1） ACB= 21AOB （2） AB 是直径 ACB=90（3） ACB=90 AB 是直径（4） CD=AD=BD ABC 是 Rt 5圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD 是圆内接四边形 CDE =ABCC+A =1806切线的判定与性质定理:如图：有三个

10、元素， “知二可推一” ；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1） OC 是半径OCABAB 是切线（2） OC 是半径AB 是切线OCAB（3） A BC DOA BCDEO AC BCAD BD=AE=BEABCDEFOA BCOAB CD EABCOABCD =AB CDAC BDABCO 初三数学专题复习- 二次函数与圆 六安阳光教育集团阳光教育培训中心 阳光精英班复习专用资料7切线长定理:从圆外一点引圆的

11、两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例： PA、PB 是切线 PA=PBPO 过圆心APO =BPO8弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）几何表达式举例：（1）BD 是切线，BC 是弦CBD =CAB（2） ED，BC 是切线 CBA =DEF9相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（1）

12、 PAPB=PCPD（2） AB 是直径PCABPC 2=PAPB10切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1） PC 是切线，PB 是割线PC 2=PAPB（2） PB、PD 是割线PAPB=PCPD11关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1） （2）几何表达式举例：（1） O 1，O 2是圆心O 1O2垂直平分 AB（2） 1 、 2相切O 1 、A、O

13、2三点一线12正多边形的有关计算:（1）中心角 n ，半径 RN ， 边心距 rn ， 边长 an ，内角 n ， 边数 n；（2）有关计算在 RtAOC 中进行.公式举例：(1) n = 360；(2) 182ABCDAB CDE FPABOABCPABC DPABO1 O2AO1 O2n n A BCD EOarnnnRABCDP A BCPO EF AB=初三数学专题复习- 二次函数与圆 六安阳光教育集团阳光教育培训中心 阳光精英班复习专用资料A BO几何 B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、

14、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外）公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正多边形的中心角.二 定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形.三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长 C=2R；（2）弧长 L= 180Rn；（3）圆的面积 S=R 2.（4）扇形面积 S 扇形 = LR1360n2；（5）弓形面积 S 弓形 =扇形面积 SAOBAOB 的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2rh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 = 21. （L=2