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1、1三角函数的应用题第一阶梯例 1如图，ADBC，ACBC，若 AD=3，DC=5，且B=30，求 AB的长。解：DAC=90由勾股定理，有CD2=AD2+AC2AD=3，DC=5AC=4B=30AB=2ACAB=8例 2如图，ABC 中，B=90，D 是 BC上一点，且 AD=DC，若 tgDAC= 41,求 tgBAD。探索：已知 tgDAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求BAD 的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的 tgDAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地 D点作 AC的垂线。又要求BAD 的正切值应已知 RtBAD 的三边长，或两条直角边 AB
2、、BD 的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的 tgDAC 的条件。由于 AD=DC，即C=DAC，这时也可把正切值直接移到 RtABC 中。解答：过 D点作 DEAC 于 E，41ACtgQ且t设 DE=k，则 AE=4kAD=DC,DAC=C，AE=ECAC=8k 41BCAtg设 AB=m，BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC2km178BC32由勾股定理，有CD2=DE2+EC22kCD17B5由正切定理，有 .815BADtg例 3如图，四边形 ABCD中，D=90，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求 sinB。探索：已知条件提供的图形是什么
3、形？其中D=90，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求 sinB应放在什么图形中。点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有D=90，AD=3，DC=4，这样可求 AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证ABC 是 Rt，因此可求 sinB。解：连结 ACD=90由勾股定理，有AC2=CD2+CD2AD=3，CD=4，AC=5AB=13，BC=1213 2=122+52ACB=90由正弦定义，有 135sinBAC第二阶梯例 1如图，在河的对岸有水塔 AB，今在 C处测得塔顶 A的仰角为 30，前进 20米后到 D处，又测得 A的仰角为 45，求塔高 AB。探索：在河对岸的塔能否直接测
4、得它的高度？为什么在 C、D 两处测得仰角的含义是什么？怎样用 CD的长？点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及 CD长，由于塔身与地面垂直，且 C、D、B 三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有ACB=30，ADB=45，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有ACB=30，ADB=45又 ABCB 于 B。DAB=453DB=AB设 AB=x由正切定义，有 20)13(,.xCDBAtgQ及解得 即塔高 )(AB答：塔高 AB为 130米。第三阶梯例 1已知等腰三角形的顶点为 A，底边为 a，求它的周长及面积。探索
5、：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为 a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知ABC 中，AB=AC，BC=a（如图）解：过 A点作：ADBC 竽 D点，设BAD=AB=ACBD=CD=CABa,2根据正弦定义，有sin2.sinaACBDA同 理即AB+AC+BC=a+ i由余切定义，有 DBActgAD=ta24ADBCSA21ctgaABC4注意：也可设B
6、AC=，则BAD= 2。例 2有一块矩形纸片 ABCD，若把它对折，B 点落在 AD上 F处，如果 DC=6cm，且DFC=2，ECB=，求折痕 CE长。探索：根据已知条件图形对折，B 点落在 F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知 DC的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨：由于 F点的形成是因对折 B点而形成的，因此可有EBCFEC，同时又可有AEFCDF。根据已知条件DFC=2 及ECB=，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求 CE的长。解：根据已知条件，有EBCFECEB=EF，BC=FC，ECB=ECFCFD=2，
7、且ECB=ECF=由余弦定义，有 CFDAcosADC=902 2sin由余弦定义，有 CEFcocs2in6例 3如图 6-5-5，某船向正东方向航行，在 A处望见灯塔 C在东北方向，前进到 B处望见灯塔 C在北偏西30，又航行了半小时，望见灯塔 C恰在西北方向，若船速为每小时 20海里，求 A、D 两点间的距离， （结果不取近似值）图6-5-5思路分析：易知 ACD 是等腰直角三角形，要求 AD，不能利用 ACD 直接求得，由于 ,102B图形中再没有其他的直角三角形，必须构造直角三角形，作 CEAD 于 E，只要求出 CE，就可能以求出 AD，借助两个直角三角形（BCE 和DCE）中，B
8、E、DE 与 BD的关系以及 BE与 CE之间的关系就可求 CE。解5作 CEAD，垂足为 E，设 CE=x海里CAD=CDA=90-45=45，CE=AE=DE=x。在 RtBCE 中，CBE=90-30=60， ,360cotxCEB由 DE-BE=BD得， 213x，解得 5。 ）xAD海 里)(310(。答：A、D 两点间的距离为 )海里。第四阶梯例 1有一段防洪大堤，其横断面为梯形 ABCD，ABDC，斜坡 AD的坡度 i1=1:1.2,斜坡 BC的坡度 i2=1:0.8，大坝顶宽 DC为 6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形 DCFE，EFDC，点E、F 分
9、别在 AD、BC 的延长线上（如图 6-5-6） ，当新大坝顶宽 EF为 3.8米时，大坝加高了几米？图 6-5-6思路分析：本题实质上是梯形 CDEF的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即 DE、CF 的坡度公别为1:1.2,1:0.8,又 DC=6米，EF=3.8 米,要求大坝加高的高度,分别作 FHDC 于 G,FHDC 于 H,利用 RtDEG, RtCFH 和矩形 EFHG可以求出新大坝的高度.解作 EGDC,FHDC,垂足分别为 G,H,则四边形 EFHG是矩形,GH=EF=3.8 米.设大坝加高 x米,则 EG=FH=x米。i 1=1:1.2, i2=1:0.8, .801
10、,.CHFDGE x由 DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.16答：大坝加高了 1.1米。例 2如图 6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向 220千米 B处有一台风中心，其中心最大风力为 12级，每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15千米/时的速度沿北偏东 30方向往 C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该
11、城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图 6-5-7思路分析：（1）作 ADBC 于 D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）20=160 千米的范围内，比较 AD与 160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。（2）当 A点距台风中心不超过 160千米时，将受到台风的影响，如图 6-5-7，AE=AF=160 千米，当台风中心从 E处移到 F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出 EF的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。（3）显然当台风中心位于 D处时，A 市所受这次台风的风力最大。解（1）如图 6-
12、5-7，由点 A作 ADBC，垂足为 D。AB=220，B=30， )(102千 米B。由题意，当 A点距台风中心不超过 160千米时，将会受到台风的影响，由于 AD=110158河堤的横断面如图 6-5-11所示。堤高 BC是 5米，迎水坡 AB的长是 13米。那么斜坡 AB的坡宽 I是（ ）A1：3 B、1：2 6 C.1:2.4 D.1:29.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成 80角。房屋朝南的窗子高 AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12） ，那么挡光板 AC的宽度至少应为（ ）图 6-5-128图
13、6-5-13A1.8tan80m B.1.8cos80m C. o80sin.1m D.1.8cot80m10.如图 6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽 6米，坝高 24米，斜坡 AB的坡角为 45，斜坡 CD的坡度I=1：2，则坝底 AD的长为（ ）A42 米 B、 （30+24 3）米 C、78 米 D、 （30+8 3）米11、如图 6-5-14，两条宽度都为 1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）A sin1 B. cos C.sina D.1图 6-5-1412.如图 6-5-15，直升飞机在跨河大桥 AB的上方 P点处
14、，此时飞机离地面的高度 PO=450米，且 A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 =30,=45，求大桥 AB的长（精确到 1米，供选的数据：21.41, 31.73）.13.某型号飞机的机翼形状如图 6-5-16所示，其中 ABCD，根据图中的数据计算 AC、BD 和 CD的长度。 （结果保留根号）14如 6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为 6米，坝高 10米，斜坡 AB的坡度是1：2（AR：BR） ，现要加高 2米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长 50米的大坝，需要多少土方？15如图 6-5-18,已知 C城市在 B城市的正北方向，两城市
15、相距 100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 BC） ，经测量，森林保护区 A在 B城市的北偏东 40方向上，又在 C城市的南偏东 56的方向上，已知森林保护区 A的范围是以 A为圆心，半径为 50千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？为什么？（已知 tan40=0.839,tan56=1.483）B组1、 1、 知小山的高为 h,为了测得小山顶上铁塔 AB的高 x,在平地上选择一点 P，在 P点处测得 B点的仰角为，A 点的仰角为 。 （见右表中测量目标图 6-5-19）（1）试用 、 和 h的关系式表示铁塔高 x;（2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据” ，填写“平均值”一列中 、 的数值；（3）根据表中数据求出铁塔 x的值。 （精确到 0.01m）2.如图 6-5-20，某校的教室 A位于工地 O的正西方向，且 OA=200米，一台拖拉机从 O点出发，以每秒 5米的速度沿北偏西 53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为 130米，试问教室 A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室
