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1、初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析一、一般处理方法 常用定理 两点之间，线段最短 垂线段最短 三角形三边关系 PA+PB 最小，需转化，使点在线异侧 |PA-PB| 最大，需转化，使点在线同侧 具体例题分析 类型一 利用两点之间线段最短 1.立体图形平面展开图求最短路径 例 1.有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离。试题分析：此题为常规题型，碰到立体图形中的最短路径问题把它展开成平面图形再利用两点之间线段求解即可。 解：AB =， BC 为底面周长的一半 即 BC = AC = = = 答：蚂蚁爬行的最短距离为 cm
2、。 2.通过作轴对称求距离之和的最小值 例 2：如图，AOB=30，AOB 内有一定点 P，且 OP=10.在 OA 上有一点 Q，OB 上有一点 R.若PQR 周长最小，则最小周长是 试题分析：此题出现一个定点两条定直线，所以我们是通过这个定点分别关于这两条直线作对称点，再根据三角形三边关系，最终转为两点之间线段最短来处理。 解：设POA=，则POB=30， 作 PMOA 与 OA 相交于 M，并将 PM 延长一倍到E，即 ME=PM. 作 PNOB 与 OB 相交于 N，并将 PN 延长一倍到F，即 NF=PN. 连接 EF 与 OA 相交于 Q，与 OB 相交于 R，再连接PQ，PR，
3、则PQR 即为周长最短的三角形. 联盟OA 是 PE 的垂直平分线， EQ=QP； 同理，OB 是 PF 的垂直平分线， FR=RP， PQR 的周长=EF. OE=OF=OP=10， 且EOF=EOP+POF =2+2=60， EOF 是正三角形， EF=10， 即在保持 OP=10 的条件下 PQR 的最小周长为 10. 故选 A. 3.利用平移求线段和的最小值 例 3：荆州护城河在 CC处直角转弯，河宽相等，从A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD、 EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？ 试题分析：由于含有固定线段“桥”
4、 ，导致不能将ADDEEB 通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将 AD、BE 平移至 DF、EG，即可得到桥所在位置 解：作 AFCD ，且 AF=河宽，作 BGCE，且BG=河宽，连接 GF，与河岸相交于 E、D ，作 DD、EE即为桥 证明：由做法可知，AFDD ，AF=DD ，则四边形 AFDD为平行四边形 于是 AD=FD 同理，BE=GE 由两点之间线段最短可知，GF 最小 即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB 最短 二、利用垂线段最短求最值 1.通过转移点，转化为一个定点到一条定直线的距离的最小值 例 1：如图，在锐角ABC 中，AB=6，BAC=60 ，BAC 的平分
5、线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 C. D.试题分析：此题，两条线段涉及到三个点，其中 B为定点，另外两个点均为动点，但通过角平分线这个条件可以把 BM 转化成关于线段 AD 对称的线段 EM. 从而把两条线段之和的最值转化为点 E 到直线 AB 的最短距离。 解：在 AC 上取一点 E，使得 AE=AB，过 E 作ENAB 于 N，交 AD 于 M，连接 BM，BE，BE 交 AD于 O，则 BM+MN最小， AD 平分 CAB，AE=AB， EO=OB，ADBE ， AD 是 BE 的垂直平分线， E 和 B 关于直线 AD 对称，
6、 EM=BM， 即 BM+MN=EM+MN=EN， ENAB ， ENA=90 ， CAB=60， AEN=30， AE=AB=6 ， AN=AE=3 ， 在AEN中，由勾股定理得：EN=， 即 BM+MN 的最小值是. 故选 B. 2.通过勾股定理转移线段转化为垂线段最短 例 2. 如图， ABC 中，BAC=60，ABC=45 ，AB=2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为.试题分析：此题由于 E、F 两点均为动点，若按常规思路直接求其最值感觉无从下手，而此时如能转化成其他与之相关的线段直径，则问题就
7、迎刃而解了 由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径最短。 解：由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC上的高时，直径最短， 如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为H，在 RtADB 中，ABC=45 ，AB=， AD=BD=1，即此时圆的直径为 1， EOF=2BAC=120， 而EOH=EOF ， EOH=60， 在 RtEOH 中，EH=OEsinEOH=sin60=， OHEF ， EH=FH， EF=2EH=， 即线段 EF 长度的最小值为. 故答案为. 3.通过三角形全等相似等转移线段转化为垂线段最短 例 3.已知梯形ABCD，A
8、DBC，AB BC ，AD=1，AB=2，BC=3， 问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否相等，为什么？ 问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由. 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE=PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由. 问题 4：如图
9、3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长PA 到 E，使 AE=nPA，以 PE、PB 为边作平行四边形PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由。 试题分析：此题难度很大，P、Q 两点也均为动点，而且此题要转化的线段隐藏得更深，需要在复杂图形中挖掘线段的等分点，从而转化成线段 PG 的整数倍，才最终变成动点到定直线的线段中垂线段最短的问题。 解：问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形， 若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形， DPC=90， AD=1 ，AB=2，BC=3， DC=2， 设 PB=x，则 AP=2-x
10、， 在 RtDPC 中，PD2+PC2=DC2，即 x2+32+2+1=8， 化简得 x2-2x+3=0， =2-413=-8【解答】解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD. ABC 是等边三角形，且边长是2，BC=AB=2， 点 D 是 AB 边中点， BD=AB=1， CD=，即 CD=； 连接 OD，OC，有 OCOD+DC， 当 O、D、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD， 由得，CD=， 又AOB 为直角三角形，D 为斜边 AB 的中点， OD=AB=1， OD+CD=1+，即 OC 的最大值为 1+. 故选：C. 2.以旋转为背景构造三角形 例 2：在锐角ABC 中
11、，AB=4，BC=5 ，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1. 如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1 的度数； 如图 2，连接 AA1，CC1.若ABA1 的面积为 4，求CBC1 的面积； 如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值. 试题分析：此题为一道中考压轴题，第 EP1 落在 BE和 BP1 所在的三角形里，而这个三角形里 BE 是定值，EP1的最值就转化成了 B P1 的最值。 解答：解：由旋
12、转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1， CC1B=C1CB=45， CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90。 ABC A1BC1， BA=BA1 ， BC=BC1，ABC= A1BC1， ， ABC+ABC1=A1BC1+ ABC1， ABA1=CBC1 ， ABA1CBC1 ， S ABA1=4， S CBC1=； 过点 B 作 BDAC，D 为垂足， ABC 为锐角三角形， 点 D 在线段 AC 上， 在 RtBCD 中，BD=BCsin45= ， 如图 1，当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上
13、时，EP1 最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2； 当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP1 最大，最大值为：EP1=BC+AE=2+5=7。 3.通过作对称点找到最值的特殊位置 例 3：如图，抛物线 l 交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C.将抛物线 l 沿 y 轴翻折得抛物线 l1. 求 l1 的解析式； 在 l1 的对称轴上找出点 P，使点 P 到点 A 的对称点A1 及 C 两点的距离差最大，并说出理由； 试题分析根据翻折变换的性质，求得 A1 和 B1 的坐标，用待定系数法即可求得抛
14、物线 l1 的解析式，根据三角形两边之差小于第三边的性質即可知，B1C 的延长线与对称轴 x=1 的交点 P，即为所求。求出 B1C 的解析式即可求得点 P 的坐标。 解：如图 1，设经翻折后，点的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知 A1，B1，C 点坐标不变，抛物线 l1 经过 A1，B1，C 三点，设抛物线 l1的解析式为 y=ax2+bx+c，则 ，解得。抛物线 l1 的解析式为：y=x2 2x3。 抛物线 l1 的对称轴为：x=，如图 2，连接 B1C 并延长，与对称轴 x=1 交于点 P，则点 P 即为所求。此时，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。 设 P为对称轴 x=1 上不同于点 P 的任意一点，则有：|PAPC|=|PB1PC|设直线 B1C 的解析式为 y=kx+b，则 ，解得 k=b=3。直线 B1C 的解析式为：y=3x3。 令 x=1，得 y=6。P 。 通过以上三种类型题目的分析，我们不难发现，虽然线段最值及线段和差的最值是一个难点，但只要我们能够吃透本质，在碰到这种类型问题时都能结合具体题目具体分析，确定相应的类型，从而快速找到基本原理是利用两点之间线段最短，还是垂线段最短，抑或是利用三边关系。从而找到问题的突破口，去运用相关知识去解决这个难点。
