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1、第十一讲 对数【知识整合】1. 对数的概念一般地，如果 a（ ）的 b 次幂等于 N，即 ，那么就称 b 是以 a 为底 N0,1 =的对数，记作 ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。=由对数的定义可知， 与 两个等式所表示的是 a，b，N 三个量之间的同=一个关系，例如： .32=939=2例 4 将下列指数式改写成对数式：（1 ） ； （2 ） ；24=16 33=127（3 ） ； （4）5=20 (12)=0.45例 5 求下列各式的值：（1 ） ； （2 ）264 927通常将以 10 为底的对数称为常用对数，如 等。为了方便起见，对数102,1012简记为 ，如 等。10 2
2、,12在科学技术中，常常使用以 e 为底 d 的对数，这种对数称为自然对数。是一个无理数，正数 N 的自然对数 一般简记为 ，如 分=2.71828 2,15别记为 等。2,152. 对数的运算性质（1 ） ， ，其中 。()=+= 0,1,0,0（2 ） ，其中=, 0,1,0例 6 求下列各式的值：（1 ） （2）2(2343) 51253. 换底公式一般地，我们有 ，其中 ，这个公式称为对数= 0,1,0,0,1的换底公式。例 7 试用常数对数表示 35【典例精析】1. 将下列的指数式改写成对数式：（1 ） （2）35=243 28=12562. 根据对数的定义，写出下列各对数的值（ ）
3、0,110100= 255= 212= 51=33=133= 1= =3. 求值：（1 ） 2748+212122421（2 ） (2)2+250+25（3 ） (32+92)(43+83)4. 已知 。证明：0,1,0, =5. 用 表示下列各式：,（1 ） （2）(23) 26. 比值 应等于（ ）A. B. M C. D. 1+11+7. 若 ，则 （ 2(3(4)=3(4(2)=4(2(3)=0 +=）A. 50 B. 58 C. 89 D. 1118. （1）已知 ，求 的值。10=2， 10=3 1002（2 ）已知 ，用 a,b 表示 。89=， 25= 39. 已知 ，求证 。
4、8=9=62+3=610. （1）若 ，则 95=,37= 359=（2 ） ，则 189=,18=5 3645=（3 ）若 ，则 427=,325= 2=（4 ） (25+40.2)(42+250.4)=（5 ）若 ，则 1， +2=113 3+62+=【重点题型强化】1. 将下列的对数式改写成指数式（1 ） （2）124=4 10000=4（3 ） （4）=0.4771 12=2. 求下列各式的值：（1 ） （2 ）3(327)12(4582)（3 ） （4）25+413271393. （1） (27+81000)1.2（2 ） （3 ） 22+450+250275275192349（4
5、） （5）( 3+5+3 5) 2723324. 已知 ，试用 表示下列各对数。2=,3= a,b（1 ） （2 ）108 18255. 解下列方程：（1 ） （2 ）24=16 43+2=25681（3 ） （4）2341=15 2+26218=06. 若 ，则 M 的值是（ ）23343132=A. 5 B. 6 C. 7 D. 无法确定7. 证明不等式： 。1519+ 2319+ 32190,1) (0,+)2. 对数函数的图像与性质画出下列两组函数图像，并观察各组函数的图像，寻找它们之间的关系：， ； 1=2 =2， 。 2=(12) =12由上图知，函数 与 的图像关于直线 对称，函
6、数 与=2 =2 = =(12)的图像也关于直线 对称。=12 =对数函数的图像与性质2.1 对数函数的定义域例 1 设 ，则 的定义域为（ ）()=2+2 (2)+(2)A. B. (4,0)(0,4) (4,1)(1,4)C. D. (2,1)(1,2) (4,2)(2,4)1 01)xy1O2.2 对数函数的单调性例 2 设函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）()= 2， 012()， ()A. B. (1,0)(0,1) (,1)(1,+)C. D. (1,0)(1,+) (,1)(0,1)2.3 对数函数过定点问题例 3 函数 的图像恒过定点 A，若点 A 在直线=(+3)1
7、 (0,1)上，其中 ，则 的最小值为 +1=0 01+22.4 有关对数函数的奇偶性问题例 4 已知函数 ()=2+2(01 ()= ,212）A. B. C. D. 42 2 222.6 对数方程例 6 方程 的解集是 2(+2)=0【典例精析】1. 求下列函数的定义域：（1 ） ；=0.2(4)（2 ） =1(0,1)2. 比较下列各组数中两个值的大小：（1 ） ，23.423.8（2 ） ，0.51.80.52.1（3 ） ，75 673. 求下列函数的定义域，并画出函数的图像：（1 ） （2）=2(2+1) =114. 解下列方程：（1 ） （2 ）2(3)=2(2+1) 5(2+1
8、)=5(22)（3 ） 1=(1)5. 解下列方程：（1 ） （2）21=5 25+19=06. 已知函数 ， ，当 时， 有最大值 ()=(14)214+5 2,4 = ()；当 时， 有最小值 = ()7. （1）求函数 的定义域=123221（2 ）求函数 的定义域。=11(+) (0,且 1)（3 ）已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。() 0,1=13(3)8. 作出下列函数的图像，并指出其单调区间。（1 ） （2 ） =() =2|+1|（3 ） （4）=|12(1)| =2(1)9. 已知 ，试确定 a 和 b 的大小关系。3310. 已知 ，且 ，求 的最大值和最小值，并指出取最大值110 2=100 ()2+()2和最小值时相应的 x 和 y 的值。【重点题型强化】1. 已知函数 的定义域为 M， 的定义域为 N，则 （ ()=11 ()=(1+) =）A. B. C. D. |1 |1 ()A. 0 B. 1 C. 2 D.33. 比较下列各组数中两个值的大小：（1 ） ， （2 ） ，35.4
