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1、1正 交 变 换 法 和 配 方 法 化 二 次 型 标 准 形的 优 劣 研 究摘 要二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用.本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处.关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法 2AbstractQuadratic study originated
2、 in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. T
3、his kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications.Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summariz
4、e the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square. Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation 3目 录摘 要Abstract目 录1引 言 12定 义 13定理及其证明 24方法步骤及例题 54.1 配方法化二次型标准形 54.2 正交变换法化二次型标准形 74.3 两
5、种方法的比较研究 95小 结10致 谢12参考文献131. 引 言线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域.二次型理论在线性代数中占有举足轻重的地位,从对平方数的注意到对特殊二次型的研究，再到对一般二次型的探索与发展，中间经历了一个漫长曲折的历史过程,而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系，利用二次型可以把任何一个方阵 JORDAN 标准化,对研究矩阵是非常有用的，因此讨论化二次型为标准形的问题就成为教学的一个很重要的内容.4文
6、献1-3具体介绍了二次型的定义以及对二次型的研究情况，提出了化二次型为标准型的重要性.文献4-6提出了用正交变换法化二次型标准形的步骤及应用文献7-8提出了用配方法化二次型标准形的步骤及应用. 本文对化二次型为标准形的方法进行了归纳和总结，并做进一步的研究与讨论，这在理论上和应用上都有着十分重要的意义.2. 定 义定义 1：设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中的 的二次齐次多nx,21L项式= +2 +2 + +2 +nxf,21L1a221xnxa12na22nx称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型.定义 2：设 ； 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系,1ny,1L式
7、(1)称为由 到 的nnn nycycxL2122111 nx,1Lny,1一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 ，那么，线性替换(1)就0ijc称为非退化的.定义 3：在 n 维欧式空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.3. 定理及其证明定理 1：数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和5的形式.221nxdxdL证明：对变量的个数 n 作归纳法. 对于 n=1，二次型就是 ，已经是平方和了，现假定对 n-1 元的二次211af型，定理的结论成立.再设 （ ）nijjijxaxf22,Ljiija分三种情形来讨论：1
8、） （ ）中至少有一个不为零，例如 ，这时ijan,2L 01=nxf,21 nijjiniinjj xaxaxa221211= nijjinjj2211= - +121jnjxaxa221njjxanijjixa= +2121jnj nijjib这里 =- + 是一个 的二次型.nijjixb221njjxanijjixa2 nx,32L令 即 nnjjxyyL211 nnjjxyayL211这是一个非退化线性替换，它使 =nxf,21ijjiyba21由归纳法假定，对 有非退化线性替换nijjiyb2nnnnycyczzL3233236能使它变成平方和 2232nzdzdL于是非退化线性变
9、换 nnycyczL2221就使 变成 = ， 即变成平方nxf,21Lxf,1 221nzdzaL和了.根据归纳法原理，定理得证.2）所有 ，但是至少有一 （j1）,不失普遍性，设0ia01j 012a令 它是非退化线性变换，nzxzxL3212且使 =f,21 L21xa= 21zz= ，21这时上式右端是 的二次型，且 的系数不为零，属于第一种情nz,2L21z况，定理成立.3) 0112naa由于对称性，有 13nL这时 = 是 n-1 元二次型，根据归纳法假定，它能用非nxf,21injjixa2退化线性替换变成平方和.定理 2：对于任一个 n 级实对称矩阵 ，都存在正交矩阵 ，使得
10、 =AQA1= 其中 是 的 n 个特征值.AQ nO21 n,21L定理 3：对于 n 维欧式空间中任意一组基 ，都可以找到一组标n,217准正交基 ，使 L =L ， .n,21i,21i,21Ln,21L证明：设 是一组基，我们来逐个地求出向量 . 首先，可取 .一般地，假定已经求出 ，它们是单位正11 m,21交的，具有性质 L =L ， .i,21Li,21L,L下一步求 m因为 L =L ，所以 不能被 线性表出.,21m,21 1mm,21作向量 .显然， ，且 ，miim11, 010,1i,2L令 ， 就是一单位正交向量组.1m12,mL同时 L =L 由归纳法原理，定理得证
11、.12,12,定理 4：任意一个 n 元二次型 = ( 实对称)，总可以nxf,2LAX经过正交变换 （ 为正交矩阵）化为标准形 QYX 221nyyf L，式中， 是矩阵 =( )的全部特征值，n,21LAija称为二次型在正交变换下的标准形.2yyf证明：因为矩阵 是实对称阵，由定理 4 可知，一定存在正交矩阵 ，Q使得 = = = 其中 是矩阵 的全部AQ1 nO21 n,21LA特征值.作正交变换 ,则 = = =YXxf,21LAXYQ = 221nyyL84. 方法步骤及例题4.1 配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：情形 1: 如果
12、二次型 含某文字例如 的平方项，而 ,nxf,21L1x01a则集中二次型中含 的所有交叉项，然后与 配方，并作非退化线性替换1x21（ ）nnxyccL211 Pcij则 ,其中 是 的二次型。gdf,21nygL,2ny,2对 重复上述方法直到化二次型 为标准形为止.ny,32Lf情形 2: 如果二次型 不含平方项，及 ,nxf,21 01ani,2L但含某一个 ，则可先作非退化线性替换0ijajijiknkyxkjiji ,;,21LL把 化为一个含平方项 的二次型，再用情形 1 的方法化为标准形.f i例 4.1.1：用配方法化二次型=321,xf 23231212 xxx为标准形，并
13、写出所用的非退化线性替换.解：先对 配方消去所有含有 的项 ， ， ：11213= + + - -32,xf213x2x2= - + - -23232x= - -31x24x9再对 配方消去所有含 的项 ； ：3x3x233x= -21,f2132x= -3x作线性替换 231xy把二次型化为标准形 =31,f 2321yy注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为或 3231xy323312yxyx则二次型化得标准形是 = 321,f 321y例 4.1.2：用配方法化二次型 = + - 为标准形，,xf213x26并写出所用的非退化线性替换.解：作非退化线性替换 3212yx则 = + -321,xf2121y213216y3= 384y先对 配方， = - +1y321,xf 12y23= - + -32y2y再对 配方， = - -2y321,xf1y34= - +232y610作线性替换 321yz把二次型化为标准形： =321,xf 23216zz4.2 正交变换法化二次型标准形正交变换法化二次型标准形的一般步骤：(1)写出 的特征方程 ,求出 的全部特征值.A0AE(2)对于各个不同的特征值 ，求出齐次线性方程组 的基础解系，0xAE即解空间的一个基底（
