周期函数性质的证明

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1、红河学院本科毕业论文（设计）摘要本文探讨了周期函数与周期的定义与性质讨论了周期函数最小正周期的存在性，引入了最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明，主要研究了周期函数中的两个问题，得到了非常数周期函数的周期是其最小正周期的整数倍，及它和它导函数的最小正周期相同这两个结论关键词：周期函数；最小正周期；导函数红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTThis article discusses the definition and nature of the periodic function with cycleThe Existence of a periodic function of

2、 the smallest positive cycle，Introduces a sufficient condition for the existence of the smallest positive cycle，And give a detailed proofMain study two problems in the periodic function，Been nonconstant periodic function of the cycle is an integer multiple of the smallest positive cycle，And the smal

3、lest positive cycle and its derivatives of these two conclusionsKeywords: Periodic function；The smallest positive period；Derivative function红河学院本科毕业论文（设计）目录第一章 引言1第二章 相关知识和定理2 第三章 主要定理的证明5第四章 小结10参考文献11致谢12红河学院本科毕业论文（设计）1第一章 引言周期函数是一类较特殊的函数它主要描述了客观世界中一些具有周期性现象的数量关系如果一个函数是周期函数，那么对于其形态的研究可带来不少方便因此研究周期

4、函数是具有一定意义的我们知道有些周期函数在定义域上存在最小正周期，比如 ， ， ， 等，但并不是每一sinxcotanxcot个函数都有最小正周期，如常值函数，狄利克雷函数等，所以有必要讨论最小正周期的存在性，引入最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明存在最小正周期的周期函数和它导函数的最小正周期是否相同，本文利用连分数的相关知识证明了非常数连续周期函数的最小正周期和它导函数的最小正周期周期之间的关系列举了出个几个例子来判断一个函数是否为周期函数第二章 预备知识2第二章 预备知识定义 2.1 如果有一实数 ，使对任意 （指函数的定义域） ，均有0TxD，则称 为以 T 为周期的周期函数()

5、(fxTf()fx定义 设 是周期函数 的周期，那么对于一切正整数 ， 都是12. ()f n的周期从而可知周期函数 必有正周期；周期函数的所有周期的集合()fxfx是一个上，下方均无界且对称于数轴原点的无穷集合定义 若 ， 为 的周期，且 ，则 也是 的周期2.31T2()fx120T12T()fx给定一个周期函数，总希望找到它的最小正周期，但不是所有周期函数都有最小正周期例如：在整个数轴上处处不连续的狄利克雷函 2数1,()0xQD以任何非零有理数为周期，又因为有理数中无最小正数，故 无最小正周()Dx期定义 设 是 的连续周期函数，且周期为 ， 是它在32.4()fx,T()Fx上的一个

6、原函数，则 在 上有界,()Fx,证明：若 在 上以 为周期，则 在 上连续，从而存在最()Fx,G()x0,G大值和最小值，分别设为 ， ，令 ，则有1m212aMm()FxM，即 有界()x()x第二章 预备知识2，关于连分数的一些结果42.5红河学院本科毕业论文（设计）3命 表一正实数， 是它的整数部分，又命 ，则 也是正实数，而且0a01a1大于 ，在命 是 的整数部分及 ，如此下去，命 为 的整数11121na分，而 ，如此就就得到一个分数：1nna0121naO记为 011,nL经过计算得到 ， ，0a10,a2102001,aL普通命 ，成为 的第 个渐进分数或渐进值011,nn

7、paqLn定理 2.5.1：渐进分数的分子与分母有如下关系：010,p12nnpap qaq证明：用归纳法当 时，上面的结论显然正确假定已知 时，以上2 nm结论成立10110111,mmmpaaaqLL121mmapq立，可得证1211111mmmmpppaapqaqq红河学院本科毕业论文（设计）3故当 时也成立，可得证1nm第二章 预备知识4定理 2.5.2：与 还适合以下的公式：npq11nn()2nna2证明：当 时 显然成立，现在用归纳法，由定理 2.5.1 知1n()npq121nnapq121nnqp2121nnqp()12q2()()故 成立又由定理 2.5.2 知 21212

8、1212()(nnnnnnnnnpqapqaqpaqpa及为（2）式定理 2.5.3 21nnpqq证明：我们有 ， ，0111,nnaaL11nnpq1()na1111 2111()()( ()nnnnnnnnpqpqq aqq红河学院本科毕业论文（设计）5第三章 主要定理的证明定理 3.1：设 是以非常数连续周期函数，则 必有最小正周期()fx ()fx证明：设 ，则 E 非空有下界， 存在，设为 ，E的 所 有 正 周 期 inE0T下面证明：（1） ， ；(2) 由此可得 是函数xD0()(fTfx0T的最小正周期()fx若 ，则显然有 ；0TE0()(fxTf若 ，那么存在 ，有 ，

9、于是 ，1,23)nEL0()nTxD由于 的连续知 = = = =()fx0()fx(limxflixflim(xf)所以 也是 的周期0Tf（2） 由确界的性质知 ，假设 ，可推出 为常值函数，为此，只0T0()fx要证明对任意实数 ， 及 ，均有ab()f事实上，对任意 ，存在 ，使得当 时恒有：00xb()fxb因为 的下确界 ，所以存在 ，由于 中的数皆正，所以 ，E0TE0令 ，则 ，又因为 为 的0aqr()r为 整 数 ， 0()baq()fx周期，0()()fbfaq因为 ， 为 的周期，又因为 为 的下确界，所以它是 的最0T0x0TE()fx小正周期第三章 主要定理的证明

10、6推论 1：周期函数具有连续性是函数具有最小正周期的充分条件定理 3.2：如果 是连续非常数周期函数 的一个正周期，由定理 3.1，T()fx有最小正周期 ，则 ，使()fx0kN001)Tk证明： ，由已知得到0a1a1）设 ， ，Qnm,()1,nmN取 ，则k1k由于 与 都是 的周期， 也是 的一个周期T0()fx0T()fx又 0mnnkm0 0(1)TTT故 ，这与 是 是最小正周期矛盾0k0fx2） （正无理数） ，由定理 2.5.3， ， ，aSnpq021nTpq，又由于 ， ， ， ，使 ，01nnqTpqnn0nTp，而 又是 的一个周期0limnxp0nTp()fx这与

11、定理 3.1 矛盾综合 1）2）知必 ，使kN01k红河学院本科毕业论文（设计）7推论 2：如果 ， 都是连续的周期函数 的周期，且 为一无理数，则1T2 ()fx12T为常数函数()fx证明：如果 不是非常数函数，据定理 3.1， 有最小正周期 ，()fx ()fx0T由 是 的一个周期，根据定理 3.2， ，使 ；1Tf 1kN01K由 是 的一个周期，根据定理 3.2， ，使 ；2()fx 202T，12TK12TkQ又根据题意 为一无理数，故矛盾，原假设不成立，从而 为一常数函数12 ()fx例 1：设 是实数集上 R 上一非常数连续函数，如果 对()fx ()1)(2)fxfx所有

12、成立，证明 为一常数函数()fx证明：根据题意 ，知 有两个周期，分别为 和1(2)fx()fx，他们之比为无理数，由推论 2 知 为一常数函数2定理 3.3：设 是实数集上一非常数函数，且有连续的导函数，则 的最()fx ()fx小正周期为 ,当且仅当 的最小正周期为 0T()f 0T第三章 主要定理的证明8证明：充分性： ，使得 ，又 存在导函数，0xR00()fxfT()fx 0()ffT也是一个周期函数且周期为 x0根据定理 3.2，假设 存在最小正周期 ,()fx01Tk()N001 0 0000 1()()()()()()xxxTkfftdftdtfudfxTfk设 0011()(

13、)(fxTfxTfckk若 ，则已明；0若 ，则1k00021 00 012 1()()()()()(xTxTkkxxkfxTffudfudfxTfxk000021()()()()(2fffTfffck k同理得 0()(ifxfic0,3)L00()(kfTfk而 0fxf， 对所有 成立故 是 的一个周c01()(fxTfxkx01Tk()fx期这与 是 的最小正周期矛盾0T()fx的最小周期是 0T第三章 主要定理的证明8红河学院本科毕业论文（设计）9必要性：设 是 的最小正周期， ，0T()fxxR由 00000()()()(xfxftdftTdffT令 ，()fTffc0002 0

14、0(2()()()(xTxTfxfftdftfxTf0 00)( 2fTfffffc同理得 ，)xnxnc(1,23)L如果 ，即 ，c0R00)()fTfxnc这与 是周期函数，从而有界相矛盾（定理 2.4） ()fx，c0()(ffx故 是 的一个周期，根据定理 3.2，假设它的最小正周期为0T)x 0Tk()N根据充分性知 ，从而0Tk1k故 是 的最小正周期0()fx推论 3：由定理 3.2 及定理 3.3，如果 是实数集上一非常数连续周期函数，()fx且有连续的导函数，则 是 的周期当且仅当 是 的周期T()fT()fx例 2：证明 不是周期函数2sinx证明：令 ，显然它在 上连续可导，且不为常数函数如果()fR是周期函数，则 也是周期函数取 ，()fx 2()cosfx 2nx，这与实