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1、分数意义的分层理解及教学分数是小学数学的重要内容之一，它是小学阶段学生数学学习的重点，也是难点。通常，当学习分数开始，有相当一部分学生就觉得数学比较难学，特别是有关分数的问题解决，学生出现的困难更多，两极分化现象更严重。而分数意义是分数这一内容的重点，也是难点，因此，有效教学分数意义显得尤为重要。在日常的教学中，对分数意义的教学，教师往往比较重视分数语言意义的理解，而忽视其它角度的理解，且没有形成层次。笔者以为，分层理解分数的意义，正确把握各层分数意义的特点，对于帮助学生理解分数意义，及其解决相关的问题具有一定的现实意义。一、实物意义的份数定义在小学阶段，教材（这里指人教版，下同）主要分三上和
2、五下两册来安排学习分数，最早出现三上第 90 页，例 1：这块月饼我们一人一半。教材中给出的分析是“把一块月饼平均分成 2 份，每份是这块月饼的一半，也就是它的二分之一，写作 ”。这是学生第一次认识分数，对于学生来说，与自然数在现实21世界中直接找到对应的数量相比，分数的产生就不是这样直接，而是需要一个前提，即对整体平均分，通过对整体的平均分，得到相应的份数，再根据分得份数与整体建立联系，构成分数。因此， “份数”的定义与平均分这一实际操作是学生从自然数到分数认识的连接点。通过实际操作可以帮助学生更形象地认识并理解分数这一抽象的新数。实物意义下的份数定义，通常是以实物为基础，以平均分为前提，在
3、此基础上对分数进行描述性定义。如教材中列举的三个例子，把一块月饼、一个圆、一个长方形纸平均分等等都是以实物为基础。份数定义的分数意义主要所表示的是部分整体的关系。这一关系是分数意义份数定义的核心。因此，在日常的教学中，教师不仅要注重实物下的平均分以及份数，更应引导学生建立分数“部分整体”关系，这一关系就是分数的份数意义。同时在分数的写法与读法上让学生进一步理解这一关系。分数意义的份数定义是小学生对分数意义的最初认识，是分数意义的教学起点，因此，分数意义的份数定义，要重视以具体实物为基础，这样便于学生的深刻理解。使学生有效实现从自然数到分数的认识上跨越。二、语言意义的商的定义在三上册学习分数意义
4、后，学生第二次学习分数意义，是时隔两年多以后，在五下册第 46 页“分数的意义”这一内容中再次学习。教材中提出这样一个问题， “你能举例说明 的含义吗？同时给出了五个图示:正方形的 ，圆形的 ，41 41线段的 ，4 根香蕉的 和一盘面包（8 个）的 。接着，教材给出了三个知识1 41点，一是分数的语言意义：一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。把这个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数；二是单位“1”：一个整体可以用自然数 1 表示，我们通常把它叫做单位“1” ，三是分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。从教材的内容可以发现，五下中
5、的分数意义，还是基于份数，但高于三上中的份数。因为，所分的对象不仅仅是一个物体，而是提升到一个整体，可以用单位“1”来表示。所以，教材提出“让学生自己举例说出 的含义” 。很显41然，教师关注的是学生认识上的升华，所分的对象从“一个物体”到“一个整体” 。并且从具体到抽象，此时的分数定义不再依赖具体实物而是语言定义。这是学生学习分数认识上的第二次跨越。当学生初步建立分数的语言意义后，进而要打通分数更为一般的除法意义。教材五下第 49 页“分数与除法”一节给出两个例题，例 1：把 1 个蛋糕平均分给 3 人，每人分得多少个？例 2：把 3 个月饼平均分给 4 人，每人分得多少？这两个例题粗看没有
6、多大区别。如果从分数意义的应用性去分析，有着本质的区别。例 1 可以用份数来解决，也可以用除法来解决。但例 2 用份数来解决就显得麻烦，先要将每个月饼平均分成 4 份，再每人得 3 个 ，解答每人得 。4143如果用分数的商的意义，34= （个） 。如果出现更加复杂的内容时，还是按3照份数意义去理解，就不利于问题的解决。如例 3：小新的家养鹅 7 只，养鸭10 只，养鸡 20 只。鹅的只数是鸭的几分之几？鸡的只数是鸭的几分之几？此题就不宜再用份数的意义来解决。至此，分数的语言意义上升为表示一个数另一个数的几分之几的数。可见，分数的份数意义具有特殊性，而分数的商的意义更具一般性，具有更广泛的应用
7、价值。一些原来不可比较或者难比较的情况变成容易比较的情况。在分数商的意义下，需要淡化分数具体的实景意义，侧重理解分数作为一种脱离实际情境仍可比较的数。因此，虽然教材只安排了两个页面 3 个例题，作为学生学习分数的商的意义的材料，内容虽少但很重要。事实上教材在这一内容的编写上可以适当再增加一些份额，这样使得教师在教学中不易把这一重要的意义被淡化甚至忽视。三、图形意义的测量定义这是实物操作与语言描述之外的另一种意义。很显然，分数的这种意义主要通过图形来表示，通常表示最多的是数字线。在数字线上据点标数，或是据数找点，数字线上分数意义的直观体现，有利于学生进一步理解分数的意义及其价值。我们不妨再来看一
8、下教材的编排。五下教材中，一共用了 6 条数字线，在真分数假分数章节中有 2 条，其中一条数字线是数找点，一条数字线是点找数。在分数基本性质、约分、总复习各章节中，各有一条数字线，都是数找点，在分数小数互化章节中有点找数。这 6 条数字线中，分别有 2 条是 0、1 刻度线，2 条 0、1、2 刻度线，2 条 0、1、2、3、4 刻度线。由于教材中把数字线编排在练习中，所以教师常常把这些数字线当作练习来使用，因此教师在教学中比较重视学生找到对应的数与点的正确性，很少从图形的意义层面去理解数字线所表示的分数意义。这样学生在做这些题时比较在意结果正确与否。如果教师能从分数的意义层面去理解，这样更有
9、利于学生拓宽对分数意义的理解。这里不妨举例说明。通常学生在做 0、1、2、3、4 刻度线中找出 就容易出错（2 所在的点） ，而在 0、1 刻度线上找 就不易出错。1进一步的有如果要求学在 0 与 之间标出 ，学生标出点就没有那么准确。原214因之一是学生缺乏对分数图形意义的理解。如果给出的数字线是整数，如0、100，标出它的 ，学生一般不太容易出错，都能顺利找到中间 50 的位置。因此，在教学这一内容时，教师不仅仅把这些练习中的数字线内容，作为练习题，而且要把这些数字线作为学生理解分数的图形意义的重要内容。教材中也适当可以增加一些分数的语言意义的图形表示，这样既可以帮助学生多一角度理解分数的
10、意义，同时也为学生在后续的学习中奠定方法上的基础。因为，后续的有关分数的问题解决的内容，把分数的语言意义转化成图形意义，能使很多的分数的隐性意义显性化，同时间接地给学生渗透数形结合的思想。让学生在理解分数的份数意义与语言意义的基础上，进一步理解分数的图形意义，从而使学生对分数的意义认识提升到从数到形的意义链接，在认识有了再一次的跨越，使学生对分数意义的理解更为深刻。由此，我们不妨试着对分数的意义作如下的层阶图示：分数的意义与分数的运算息息相关，分层理解分数意义有助正确进行分数运算与问题解决。分数这一内容课程标准是分两个方面的要求写的，数的认识要求是：第一学段（1-3 年级）能结合具体情境初步认
11、识分数，能读写分数，能比较两个同分母分数的大小。第二学段（4-6 年级）结合具体情境理解分数的意义,会进行小数、分数、百分数的转化，会进行小数与分数的大小比较。数的运算要求是：第一学段（1-3 年级）会进行同分母（分母 小于 10）的加减动算以及一位小数的加减运算。第二学段（4-6 年级）能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的四则混合运算（以两步为主，不超过三步） ，能解决小数、分数、和百分数的简单实际问题。在数的认识要求中，课程标准比较强调“结合具体情景” ，来认识分数，是基于儿童的认知发展规律，教师在教学中既要依据这一规律，但同时也要帮助学生认知上的发展。两个学段同是强调“具体情景”
12、，但五下的具体情景要高于三上的具体情景，当学生在具体情景下理解分数的基础上，适度发展语言意义上的分数意义是很必要的。在数的运算要求上，三上的要求很低，但在五下的要求就明显提高，而且 “能解决小数、分数、和百分数的简单实际问题”这一要求，表述上很简单，而实际上内容是很丰富的，小学阶段学生数学水平的差异，分数运算与问题解决往往成为学生水平差异的分水岭。这就要求教师在教学分数的基本意义的基础上还要让学生理解分数的运算中的放缩意义。在分数运算中，往往有同一事物的放缩和不同事物的放缩两种情形。如男生人数是女生人数的 ，是不同事43物的放缩，今年产量比去增加 是同一事物的放缩。理解异同事物分数的放缩81性意义对于提高学生解决有关分数的问题是很有帮助的。由此可见，分层理解分数的意义，同时帮助学生在各层分数意义间建立联系，并根据分数的分层意义来组织教学，在一定程度上能降低学生学习分数的难度，便于学生更好地理解分数意义，运用分数意义，进而提高学习效果。
