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1、4.5 三角函数的图象和性质一、明确复习目标1.掌握正、余弦函数，正余切函数的性质; 2.能把一般的三角函数变形为 y=Asin(x+) 的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题。二建构知识网络1三角函数的性质：(结合图象理解 , 表中 ）)Zky=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域 R R |2xkxR|x k值域 -1,1 -1,1 R R周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数增区间 k,k,(,)2k无减区间 23无 (k,k+)对称轴 kxx=k 无对称中心 0,02k(,0)2k( ,0)2k2. 函数 y=Asin(
2、x+),xR（其中 A0,0）的性质：周期： ; 2|T单调递增区间:由 2 k- x+2 k+ （kZ）可解得. 2单调递减区间.由 2 k+ x+2 k+ (kZ）可解得.3类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒 ：若 A 或 是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。y=Acos(x+)也类似。3.三角函数求最值的方法: 化 Asin(x+), 换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等.三、双基题目练练手1.(2005 浙江) 已知 k4，则函数 ycos2 xk(cosx1)的最小值是 ( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k12(2006 全国)函数 的单调增区间
3、为 ( )tan4fxA B ,2kkZ,1,kkZC D 3,4 3,43 （2005 江西）设函数 为 （ ）)(|,sin|3i)(xfxf 则A周期函数，最小正周期为 B周期函数，最小正周期为23C周期函数，数小正周期为 D非周期函数4已知 sin+cos=1，则 y=sin2+cos 的取值范围是_.5. 为了使 y=sin x（ 0）在区间0，1上至少出现 50 次最大值，则 的最小值是6. ，的最66()cos)cos()23sin(),)33kkfx xxRkZ小正周期是_7.给出下列命题：正切函数的图象的对称中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx |的周期分别为 、
4、；2若 x1x 2，则 sinx1sinx 2；若 f（x）是 R 上的奇函数，它的最小正周期为 T，则 f（ ）=0.2其中正确命题的序号是_. 答案 :1-3.ACA; 4. y=sin2sin+1=（sin ） 2+ .143 cos=1sin . sin0，1 y ，1.43(本题易错解为 y=sin2+1sin，sin 1，1 ，求 y 的取值范围.)5.49 T1，即 1， .答案4497297思考：若条件改为在x 0，x 0+1上至少出现 50 次最大值呢？6.化为一个角的三角数 周()cos()3sin(2)4cosfxx期是 ； 7. 答案：四、经典例题做一做【例 1】 （2
5、003 春北京）已知函数 f（x ）= ，求 f（x）的定义域，x2cos1564判断它的奇偶性，并求其值域.解：由 cos2x0 得 2xk + ，解得 x + （kZ）.4所以 f（x）的定义域为 x|xR 且 x + ，kZ.2因为 f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）= ）（ ）（）（ x2cos1564= =f（x） ，2s15co4所以 f（x）是偶函数 .又当 x + （k Z ）时，4f（x）= x2cos156= =3cos2x1= ，31cs2） （ 31cos2x所以 f（x）的值域为 y|1y 或 y2.1 提炼方法 ：对复杂的函数式,要先化简为 Asin(x+)+
6、m,或 Acos(x+)+m 的形式,再讨论性质.【例 2】 锐角 x、y 满足 sinycscx=cos（x+y）且 x+y ，求 tany 的最大值.和取最2大值时角 x 的集合.解：sinycscx =cos（x+ y） ，sinycscx=cos xcosysin xsiny，siny（sinx+cscx）=cosx cosy.tany = = = = = ，csinoxsin1cox22cosix2tan1xtan42当且仅当 tanx= 时取等号.2tany 的最大值为 .对应角 x 的集合为4 2|arctn,xkkZ 提炼方法 ：先由已知变换出 tany 与 x 的函数关系，再
7、用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例 3】 （2006 辽宁）已知函数 ， .求:22()sinicos3f xxR（I）函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；()fx（II）函数 的单调增区间.（I）解法一： 1cos23(1cos2)()inxxfxQis().4当 ，即 时， 取得最大值242xk8xkZ()fx2.因此， 取得最大值的自变量 的集合是 ()f |,.8kZ解法二： 222(sinco)sincosfxxxQ1i().4当 ，即 时， 取得最大值242xk()8xkZ()fx2.因此， 取得最大值的自变量 的集合是 ()f |,.8kZ（II）解
8、： ()2sin().4fxx由题意得 ，(2kkZ即 3,().8Z因此， 的单调增区间是 ()fx3()88kxkZ【例 4】是否存在实数 a，使得函数 在闭区间235cossin2axy上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值？若不存在，试说明理由。2,0解： 218542cos2axy当 时， ，令 则 ，00xtcos10t,21854212aaty0t)(423 12854,2cos,0, 2max舍或 时即则 当时即 ayxto )(51285,0cos,0, max 舍时即则 当时即 ayto 32031123 舍时即则 当时即 xa综上知，存在 符合题意。23 思维点拨
9、：化 ，闭区间上的二次函数的最2185421cos2aaxy值问题字母分类讨论思路。【研讨.欣赏】 （2003 江苏）已知函数上的偶函数，其图象关于点 对称，()sin)(0,)fxR是 3(,0)4M且在区间 上是单调函数.求 的值。0,2和解：由 是偶函数，得 ，即 ，)(xf )(xff)sin()sin(xx所以 ,sincosincoco0对任意 x 都成立，且 ，所以得 ，0s依题设 ，所以解得 . 02由 的图象关于点 M 对称，得 ，)(xf )43()43(xfxf取 得 所以,),()43ff,0，cos2sin( fQ， 2,1,43,0,co k得又.1)2(3k当 k
10、=0 时， 上是减函数；2,0)32sin(, 在xf当 k=1 时， 上是减函数；)(在当 时， 上不是单调函数.2,)si(,0在xf所以，综合得 . 23或五提炼总结以为师1.熟记三角函数的图象与各性质很重要.2.设参 可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程.xu3.要善于运用图象解题，数形结合，数形转化。同步练习 4.5 三角函数的图象和性质 【选择题】1.(2006 福建 9)已知函数 在区间 上的最小值是 ，()2sin(0)fx,342则 的最小值等于 ( )（A） （B） （C）2 （D）323322.（05 全国卷）已知函数 内是减函数，则 （ ）),(tan在xyA0 1
11、 B1 0 C 1 D 13.（2006 辽宁）函数 ,的值域是 （ ）()sico)sinco22fxx（A） （B） （C） （D） ,21,4.（全国卷）函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 （ ）A B C D242【填空题】5.函数 的最小值等于_。xycos34sin6. 半径为 R 的圆的内接矩形周长的最大值等于_. 练习简答 ：1-4：BBCC；5. 令 t=sinx+cosx，则 y= 最小值2947()3yt6.4 R.2【解答题】7.设 ，若方程 有两解，求 的取值范围。,0xax)32sin(解：设 ，yxy),si(3要使两函数图象有交点,由图可知 。
12、32a8.(2005 浙江) 已知函数 f(x) sin2xsinxcosx() 求 f( )的值；256() 设 (0， )，f( ) ，求 sin 的值2413解：() 55sin,cos66Q2223iincs0f () 31cosifxxx3()in2242f解得01si4i16 8531sinin),0(Qia9. (2006 陕西) 已知函数 f(x)= sin(2x )+2sin2(x ) (xR)3 6 12()求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合解:() f(x)= sin(2x )+1cos2(x ) 36 12= 2 sin2
13、(x ) cos2(x )+132 12 12 12=2sin2(x ) +112 6= 2sin(2x ) +1 3 T= =22()当 f(x)取最大值时， sin(2x )=1，有 2x =2k+ 3 3 2即 x=k+ (kZ) 所求 x 的集合为 xR|x= k+ ， ( kZ)512 51210.已知函数 （a(0，1)） ，求 f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶2sinxi4af性，单调性。解:三角函数式降幂81x2cos14xsin1)xsin21(in)2si(224 f(x)= 令 8coa8cou则 y=a u 0a1 y=a u是减函数 由 得 ，此为 f(x)的减区间k2,x2k,2x由 得 ，此为 f(x)增区间,k, u(-x)=u(x) f(x)=f(-x), f(x)为偶函数 u(x+)=f(x), f(x+)=f(x) f(x)为周期函数，最小正周期为 当 x=k（kZ）时，y min=1当 x=k+ （kZ）时，y nax=241a【探索题
