《高考数学（苏教版，理）复习课件：第三章 第九节正弦定理、余弦定理的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（苏教版，理）复习课件：第三章 第九节正弦定理、余弦定理的应用（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 正弦定理、余弦定理的应用,1.三角形中常用的面积公式(1)S= ah(h表示边a上的高).(2)(3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).,2.实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角(如图).,上方,下方,(2)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图)(i)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；(ii)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(iii)南偏西等其他方向角类似.,(4)坡角与坡比：()坡角:坡面与水平面
2、所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；()坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度).,(5)视角：观测点与观测目标两端点的连线所成的角叫做视角(如图).,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)面积公式中 其实质就是面积公式 (h为相应边上的高)的变形.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 ( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 ( ),【解析】(1)正确.如 即为边a上的高.(2)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(3)正确.方位角与方向角均是确定观
3、察点与目标点之间的位置关系的.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可知为答案：(1) (2) (3) (4),1.在ABC中, AB=1,AC=2,则三角形面积SABC=_.【解析】由已知得 AB=c=1,AC=b=2,答案：,2.在ABC中, 则cos A等于_.【解析】由已知得 得，即 故答案：,3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的方向为_.【解析】由已知ACB180406080，又ACBC，AABC50，605010.
4、灯塔A位于灯塔B的北偏西10.答案：北偏西10,4.已知A，B两地的距离为10 km,B，C两地的距离为20 km,现测得ABC=120，则A，C两地的距离为_km. 【解析】如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-21020cos 120=700，AC= (km).答案：,5.海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛的距离为10海里，BAC=60,ABC=75，则B,C间的距离为_海里.【解析】连结A，B，C岛，得ABC，则C=180-BAC-ABC=45，则由正弦定理得：所以 (海里).答案：,考向 1 与三角形面积有关的问题 【典例1】(1)(2013南京模拟)已知O为ABC内
5、一点，满足 且 则SOBC=_.(2)(2013扬州模拟)在ABC中，若A=30，b=2，且 则SABC=_.,(3)(2013镇江模拟)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos A=ccos A+acos C,求A的值;若 求ABC的面积.,【思路点拨】(1)先确定O点的位置，可知O为ABC的重心，再利用向量关系求得ABC面积即可求得SOBC.(2)利用已知条件求边a,b,角C即可求得面积.(3)利用正弦定理得角A，再利用余弦定理得bc，从而可求面积.,【规范解答】(1)由 可知O为ABC的重心，故由 得cbcosBAC=2,又故bc=4,故答案：,(2)由 得2cacos
6、 B=c2，即2acos B=c,方法一:故2sin Acos B=sin C=sin(A+B),得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，故sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,又A,B是ABC的内角,故A-B=0,A=B,a=b=2.A=30,B=30,C=120.由 得,方法二：由2acos B=c得， 即a2+c2-b2=c2,a2=b2,即a=b=2,A=B.又A=30,B=30,C=120.答案：,(3)从已知条件得2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B.sin
7、B0, 又0A180,A=60.由余弦定理得，7=a2=b2+c2-2bccos 60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，代入b+c=4，得bc=3.故ABC的面积为,【互动探究】若将本例(1)中“ ”修改为“O为ABC中线AD的中点”.其他条件不变，则OBC的面积又该如何求解?,【解析】由 得cbcosBAC=2,又又O为ABC中线AD的中点,故,【拓展提升】三角形的面积公式(1)已知一边和这边上的高:(2)已知两边及其夹角：,(3)已知三边： 其中 (4)已知两角及两角的共同边：(5)已知三边和外接圆半径R，则,【变式备选】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 (1
8、)求 的值.(2)若 求ABC的面积S.,【解析】(1)方法一:在ABC中，由及正弦定理可得即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B，则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B，sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=，则sin C=2sin A，即,方法二：在ABC中，由 可得，bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，由余弦定理可得整理可得c=2a.由正弦定理可得,(2)由c=2a及 可得则a=1，c=2，即,考向 2 测量距离问题 【典例2】(1)如图,设A
9、，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50 m，ACB=45，CAB=105后，就可以计算出A，B两点的距离为_.,(2)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB=75，CBA=60,则A，C两点之间的距离为_千米.(3)某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.此时汽车离汽车站的距离是_.,【思路点拨】(1)利用三角形的内角和定理得ABC，再利用正弦定理可解.(2)利用已知角求得ACB，再利用
10、正弦定理求解.(3)先画出图形，利用已知条件及余弦定理求角C的余弦值，再利用正弦定理求解即可.,【规范解答】(1)由ACB=45，CAB=105,得ABC=30,由正弦定理得答案： m,(2)由CAB=75,CBA=60,得ACB=180-75-60=45.由正弦定理得即 (千米).答案：,(3)由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处.在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得则,所以sinMAC = sin(120-C)=sin 120cos C-cos 120sin C =在MAC中，由正弦定理得从而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽车还需要行驶15千米才
11、能到达M汽车站.答案：15千米,【互动探究】若将本例(1)中A，B两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，则两点A，B之间的距离又如何求解?,【解析】如图所示，在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30，ACCD .,在BDC中，CBD180457560.由正弦定理可得在ABC中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcos BCA， (km).即两点A，B之间的距离为 km.,【拓展提升】解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，
12、理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理、余弦定理或其他相关知识求解.(4)将三角形的解还原为实际问题的解.,【变式备选】如图，A，B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？,【解析】由题意知AB=5(3+ )海里，DBA=90-60=30,DAB=90-45=45.ADB=180-(45+30)=105.在ABD中，由正弦定理得又DBC=DBA+A
13、BC=30+(90-60)=60，,海里，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBCCD=30(海里).故所需时间 (小时).故救援船到达D点需要1小时.,考向 3 测量高度问题 【典例3】(1)如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测量点C与D.测得BCD=75，BDC=60，CD=a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60，则旗杆高AB为_.,(2)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，BAC=60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 秒.在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒),【思路点拨】(1)由正弦定理求出BC，再利用正切求AB即可.(2)利用已知条件先求AC，再利用正切求CH即可.,
