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1、基础知识一、函数的值域的定义在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 ,函数值,值域,二、基本初等函数的值域1ykxb(k0)的值域为 .2yax2bxc(a0)的值域是当a0时，值域为 ；当a0，且a1)的值域是 5ylogax(a0，且a1)的值域是 .6ysinx，ycosx，ytanx的值域分别为 、 、R.,(0，),R,1,1,1,1,三、确定函数的值域的原则1当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合2当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指3当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定4当
2、函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定,图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合?,四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有：1直接法从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围，如y(x3)的值域为 2配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y4x2x的值域为 ,2，),(0，),3反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域形如y (a0)的函数的值域，均可使用反函数法此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，如
3、：y 的值域为 ,(1,1),4判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域形如y (a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解如y 的值域为 ,2,1,5换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形如yaxb (a、b、c、d均为常数，且a0)的函数常用此法求解，如yx 的值域为 ,1，),6不等式法利用基本不等式：ab2 (a、bR)求函数的值域用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，如yx 的值域为 ,(，44，),7单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子
4、集)上的单调性求出函数的值域形如y 的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为 , ) ,8求导法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如yx3x，x0,2的值域为 9数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如y 的值域为 ,0，),易错知识一、值域求解失误1求ysin2xsinx1的值域结果为，)对吗？答案：，32已知函数f(x)log2(x2axa)的值域为R，则实数a的取值范围_答案：(，40，),二、忽视定义域对值域的制约作用而失误3已知f(x)2log3x，其中x1,9，当x_时，函数yf(x)2
5、f(x2)有最大值，最大值为_答案：x313,解析：先求出函数yf(x)2f(x2)的定义域： 1x3.函数的定义域为1,3，又yf(x)2f(x2)(2log3x)222log3x(log3x)26log3x6(log3x3)23.1x3.0log3x1.则x1时有最小值6，当x3时有最大值13.,三、区分求函数值域的方法4求函数yx 与yx 的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为_，值域为_；后者采用的方法为_，值域为_,答案：换元法(， 三角换元法1， 解析：yx ，令 t，x1t2yt2t1，t0，)y(， ，yx ，令xsin， ， ysincos sin( )，y
6、1， ,回归教材1(教材P1016题改编)函数y (xR)的值域是()A(0,1B(0,1)C0,1) D0,1)解析：1x21 (0,1答案：A,2函数y x2x1(x0)的最小值为()A.B2C1D3解析：y (x1)2 ，x0y 1，故选C.答案：C,3值域是(0，)的函数是()Ayx2x1 By( )1xCy3 1 Dy|log2x2|解析：A中y ，)，C中y1，D中y0，故应选B.答案：B,5(2008重庆)函数f(x) 的最大值为()A.B.C.D1解析：将解析式整理，得y ，利用均值不等式求得f(x)的最大值为 .答案：B,4(教材P10213题改编)函数y 的值域为()A(0
7、,1 B0,1)C(0,1) D0,1答案：B,【例1】求下列函数的值域(1)y4 ；(2)y2x ；(3)yx .,解析(1)(配方法)：由32xx20，得1x3.y4 ，当x1时，ymin422.当x1或3时，ymax4.函数值域为2,4(2)(换元法)：令t (t0)，则xyt2t1(t )2 ，当t 即x 时，ymax ，无最小值函数值域为(， ,3)(三角换元法)函数的定义域是x|1x1设xsint， t ，则yx 化为ysintcost，y t t ，1sin(t ) ， y1.原来的函数的值域是 ，1,总结评述对于形如yax2bxc(a0)或求二次复合函数的值域可用配方法对于形如
8、yaxb 的函数令t ，x 且t0，使之变形为二次函数，再利用配方，对于含 的结构的函数，可利用三角代换，令xacos，0，或令xasin， ， 对形如y 等一些结构简单的函数，可通过直接法,求下列函数的值域：(1)y( )|x|；(2)ysin2x4cosx1；(3)y2x5 .,解析：(1)|x|0,0( )|x|1，值域为(0,1(2)ysin2x4cosx1cos2x4cosx2(cosx2)26由1cosx1.3cosx211(cosx2)293(cosx2)2653y5，值域为3,5,【例2】求下列函数的值域：(1)y ；(2)y .解析(1)解法一：(反函数法)由y 解出x，得x
9、 ，2y10，函数的值域为y|y ，且yR.解法二：(分离常数法)y ， y ，故函数的值域为y|y 且yR,(2)(判别式法)：由y 得yx23x4y0，当y0时，x0，当y0时，由0得 y ，函数定义域为R，函数y 的值域为 .,总结评述反函数的定义域即为原函数的值域，形如y (a0)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法,把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法形如y (a1，a2不同时为0)的函数的值域常用此法此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式0解得，但要注意判别式中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到方法去解决,求下列函数的值域解析：(1)解法1：(化为真分式)：,解法2：(利用反函数法)：由y 得2x 0，所以y(1,1)(2)由y 变形得(y1)x2(y1)xy30当y1时，此方程无解；当y1时，xR(y1)24(y1)(y3)0解得1y ，又y1，1y .故函数的值域为y|1y .,
