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1、 第十章无穷级数本章我们研究无穷级数的概念及性质级数敛散性，技术敛散性的判断，级数及其应用得内容，无穷级数在理论和实际应用方面都有着重要的意义，它是进行数值计算的重要工具，其重要应用是在计算函数值，造函数值表，积分计算和微分方程求几解等，由于在无穷计算数中包含许多非初等函数，因而它在工程技术中也有着较广泛的应用。101 无穷技术几其性质我们把无穷数列 ： 的项依次用加号连接起来所得到的式子：nu,2LK,nu1称+为无穷级数（简称为级数）记为 即：,1nu= 1nuLn2其中 称为级数的通项。nu各项都是常数的级数，叫做常数项级数，例如： Ln21842131)(1n各项都是函数的级数，叫做函
2、数项级数，例如：Lxxxsisin2isnL1xnxxee)12(53无穷级数的意义是什么呢？我们知道，如果对无穷级数按照通常的加法运算加下去，那么，结果有各种可能，比如说，越来越大，趋向于无穷，或者有一个上界，从而趋向于每个固定的极限等，具体讨论这个问题，我们采用如下方式：称无穷级数的前 项和 nnuuSnL321为无穷级数的部分和。这样级数将对应一个部分和序列NS,321如级数 的部分和序列极限，即：SNnlim就称级数收敛并称极限 为该级数的和。记为SL 131n nuuS则，称 该级数发散。一个级数收敛还、是发散是考察该级数的重要问题，它 与部分和数列是否收敛是等价的。例 判断级数.1
3、、 Lnn321的敛散性。解，部分和的数列：2)1(321nNS并且 )(limlinsn因而，原级数发散。例 判断级数.2L )1(321)(1nn的收敛性解，由于 ，所以，部分和数列1)()(32nSnL11)1()( n因此)1(limlinnli即该级数收敛，其和为 .例 试证明等比级数（几何级数）.3)0(121 arararnn L当 时收敛，当 时收敛。p1证明 当公比 部分和1rraraSnnn 12L=n)(所以，当 ，由于1pr1)(limnnrraSnnn 即当公比 时，等比数列收敛，其和为1pr 1若 由于 。所以发散，此时等比数列发散flilinnS若公比时显然发散若
4、公比时的值与项数有关例 4 讨论调和级数L1132nn的敛散性解 因为 所以:)0(,lxx)1ln(21n)1(SL= l32l )(由于 从而发散即调和级数是发散的 .1lnim下面我们看几条无穷级数的基本性质，这些性质均可以通过无穷级数极其收敛的定义来证明，这里我们就不证了性质 在一个级数中任意去掉，增加或者改变有限项后，级数的收敛性不变。但对于收敛级数，其和将受影响性质 若级数 和 则级数 也收敛，且:21nu1nv1)(nnvu= +1)(nnv1n性质 若 则级数 和 的收敛性相同，且如果二者收敛则有 30k1nku1n=1nu1n性质 在收敛级数内可以任意加（有限个或者无限个）括
5、号，即若级数 收敛，则41nu任意加括号所得到的级数也收敛，且其和与原级数和相等。性质 (级数收敛的必要条件 )若级数 收敛,则必有51nuz0limnu即收敛级数的一般项必趋于零（是无穷小）.根据以上有关无穷级数的性质，我们可以判断一些级数的敛散性例 讨论级数 的收敛性51)ln(2解 由于 ,根据性质 收敛的级数通项必趋于 所以级数发散.1)l(n .50一般来讲通项趋于 仅仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件，例如调和级数 的01n通项 显然趋于 但调和级数发散 n1常数项级数的敛散性2.10常数项级数的形式多种多样，因而其收敛性的研究也具有一定的复杂性，限于本课程的需要。我们只研究两
6、种简单的常数项级数的敛散性问题，即正项级数与交错级数的敛散性。由于利用无穷级数的定义和性质来判断级数是副收敛，尽管很基本。但通常有较大难度，存在一定的趋限性。因而我们希望找到一些简易可行的判断级数敛散性的方法，下面我们着重解决在类问题一. 正项级数敛散性的判断若级数 的各项均不小于 则称此级数为正项级数，关于正项级数的收敛性，我1nu0们有如下定理：定理 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界。.20例 1 判断级数 的收敛性.12n解 由于 。故级数的部分和 nn122112 nnnnS LL从而该级数收敛。这个例子提示我们，判断一个正项级数的敛散性，可以采用如下方法：如果该级数的每一项
7、均不大于某收敛正项级数的对应项，那么这个级数也收敛；类似地，如果该级数的每一项均不小于某发散正项级数的对应项，那么这个级数也发散，对于这个结论，我们有如下定理；定理 （比较判别法）设 , 为两个正项级数，且满足不等式2.101nunv),(,Lnvun则当级数 收敛时，级数 也收敛；当级数 发散时，级数 也发散。1n1nu1nu1nv推论 若对两个正项级数 和 ，存在常数 和正整数 ，使得1n1nv0CN当 时nCvuN则当级数 收敛时 也收敛；当级数 发散时 也发散。1n1nu1nu1nv例 试证 级数2PL ppNp321当 时发散;当 时收敛1f证明 当 时,有np而调和级数 发散,故又
8、比较判别法知: 时, 级数 发散1n 1P1nP当 时,将 级数加括号如下fPL)58()76541()32( ppppp它的各项不大于正项级数 L )81()4141()2(1 ppppp即L118pp的对应项,这最后的级数是收敛的等比级数,公比 .故由比较判别法知 时12prP级数 收敛1np使用正项级数的比较判别法时,需要知道一些级数的敛散性,作为比较的标准,等比级数和 级数,常常被当作标准 .1nar1np例 讨论正项级数 的敛散性.313sin2D解 因为nnnnu)32(si0而等比级数 收敛,故由比较判别法知级数1)32(nD1sinn收敛比较判别法在实际运用中需要找一个以知敛散
9、性的级数与给定的级数相比较,但把一个级数放缩到合适的程度,这一点通常很难做到.因而在实际引用中,这种方法用的较少.用的较多的是比值判别法与根值判别法,它们的优点是不需要其他级数,而仅仅由所判别级数的本身来断定其敛散性.定理 (比值判别法,达朗贝尔判别法)对正项级数 若3.2101nunun1lim则当 时,级数收敛;当 (或 )时级数发散;当 时比值无法判断,要用其他的11方法 例 判定 的敛散性。43cos21Dnn解 因为 ，所以13cos02Dn)2,(2Ln又因为21limnn 12lin所以 级数 收敛再由比较法知，所讨论级数也收敛。1n定理 （根值判别法）对正项级数 ，若4.201
10、nunuli则当 时。级数收敛； （或 ）时级数发散； 时根值法失灵，无法11判断。例 讨论级数 的连散性5ann1)2(解 因为nulimnan)1(li a)21(lim所以，当 时， 级数收敛；当 ，时 级数发散；当 时根0a)2(a0a1)(a0a值法失灵，但此时级数为 是发散的。1n例 证明级数 收敛6nn)(231证明 由于1)2(3)1(nnu因而该级数收敛.二 交错级数的敛散性既有正项，又有负项的级数，叫做任意项级数，将其各项取绝对值，得到的将是一个正项级数 Lnnuu211如果此正项级数收敛，则称原任意项级数绝对收敛。如果此正项级数发散，而原任意项级数绝对收敛，则称原级数条件
11、收敛。需要注意的是，级数绝对收敛是级数收敛的充分条件，而不是必要条件。正项与负项依次排列的级数，叫做交错级数，设 ，则交错级数形如L3,21,0nuL 1 131)()(2n nnu或131)()(2n nnu定理 （莱布尼茨判别法）若交错级数满足条件：5.20.limnuL,1,.则交错级数上收敛且其和 1uSn例 判定级数 的敛散性，若收敛指明是条件收敛还是绝对收敛7n)(1解 因为调和级数发散，所以原级数不绝对收敛，又因为),21(1,0limli L nunuunn所以由莱布尼茨判别法知原级数收敛，因此，原级数是条件收敛的级数及其运算3.1一， 收敛域的概念设函数列 在集合 上有定义，
12、如果对于级数),2)(LnxuXL )(211 xuxnn当点 时所形成的常数项级数Xx0L )()()()( 003020110 xuxuxu nn收敛那么 称为该函数项级数的收敛点，否则称为该级数的发散点，所有收敛点构成的集0x合，称为函数项级数的收敛域，发散点构成的集合称为发散域设 是函数项级数的收敛域，对于任何的该级数都有一个收敛和，显然，这个和是上的函J数记为成为函数项级数的和函数。例如，等比级数0nxLnx21它的收敛域为 ，发散区域为 ，在收敛区域内的和函数是 ，即有1x1= ， 0nx1),(x设 是函数项级数的前 项和（部分和）则当 时，有)(SnJx)(limxSn例 求函
13、数项级数 的收敛域1nn31)(解 由于331lilili xnxunnn 由正项级数的比值判别法知，当 时所求级数绝对收敛，当 时所求级数发散。1x当 时，级数为 是条件收敛，当 时级数为 是发散的1x1)(n 1x1n综上所述，所讨论的级数的收敛区域为区间 ,正如本例题我们采用的方法我们看到 ，把函数项级数中的变量 x视为参数，通过常数项级数的敛散性判别法，来判断函数项级数对那些 值收敛，那些值发散是确定函数项级数收敛的基本方法。x由于在收敛区间的端点 处比值审敛法所求极限为 ，达朗贝尔法失效，因而在讨论函数项1级数的收敛区域或收敛区间时，端点当然情况比较难判断，在本书以后的讨论中，若不做
14、特别说明，我们将不讨论端点的情况，而把函数级数的收敛区间一致的理解为相应的开区间。 二 幂级数的概念及敛散性形如 Lxaxaxnn2100的函数项级数，叫做 幂级数，其中常数 叫做幂级数的系数，更一般地。2,1n形如 LL nnnn xaxaxaxa )()()()( 02020100的函数项级数，叫做 的幂级数，其中 为固定值00显然，通过变换就可以把的幂级数化为的幂级数，所以下面将着重讲讨论的幂级数，幂级数底部分和显然为多项式。定理 。如果幂级数在点 的幂级数处收敛，则对开区间1,30)(0x内的任意一点，幂级数都绝对收敛，如果幂 级数在点处发散，则当),(x 0x或 时，幂级数均发散00因为幂级数的项都在上有定义，所以对每个实数 。 ，幂级数或者收敛，或者发散，然而任何一个幂级数在 处都收敛，所以由阿贝尔引理可以直接得到如下推论：x推论 幂级数的收敛性有三种类型：存在常数 ，当 时，幂级数绝对收敛，当 时，幂级数发散；.10RxRx除 外，幂级数处处发散，此时记为.2x 0R对任意 ，幂级数都绝对收敛，此时记3 称 为幂级数的收敛半径，称开区间 为幂级数的收敛区间，在收敛区间内幂),(级数
