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1、 第十四讲 微观世界的规律与方法一、知识点击1原子结构模型玻尔模型理论：定态假设：原子中的电子绕核作圆周运动，并不向外辐射能量，其轨道半径只能取一系列不连续值，对应的原子处于稳定的能量状态。跃迁假设：电子从一个定态轨道（设对应的原子定态能量为 En2）跃迁到另一定态轨道（设定态能量为 En1）上时，会辐射或吸收一定频率的光子，能量由这两种定态的能量差决定，即 。21nhE角动量量子化假设：电子绕核运动，其轨道半径不是任意的，只有电子的轨道角动量（轨道半径 r 和电子动量 的乘积）满足下列条件的轨道才m是允许的n=1，2，3，hmrn氢原子的能级公式为 ，其中 。412208neEEhn4120
2、13.68meVh2物质的二象性 不确定关系1924 年，德布罗意从光的波粒二象性推断实物粒子，如电子、质子等也具有波动性，即实物粒子也具有二象性同实物粒子相联系的波称为德布罗意波，其波长 。hpm量子理论的发展揭示出要同时测出微观物体的位置和动量，其精密度是有一定限制的这个限制来源于物质的二象性海森伯从量子理论推理，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是 ，那么同时测得其动量也有一x个不确定范围 ， 与 的关系为 ，此式称为海森伯不px42hp确定关系，其中 h 为普朗克常数 不确定关系是普遍原理，也存在于能量与时间之间一个体系（例如原子体系）处于某一状态，如果时间有一段t 不确定，那么它的
3、能量也有一个范围 E 不确定，二者的乘积有如下关系： 2Et3原子核的基本性质与核反应质能方程、质量亏损和原子核的结合能爱因斯坦由相对论得出的质能方程为 ，2Emc如果物质的质量增加 m，则其能量也相应增加 E，反之亦然，即有。2Emc在原子核中，原子核由核子组成，但原子核的质量却小于核内核子质量之和，原子核的质量 M 与组成它的核子质量总和的差值称为质量亏损()pnZN核由上面得知，自由核子在结合成原子核时能量减少了 ，即有能2Emc量释放出来，这能量即为该核的结合能核反应方程和核反应能原子核反应是原子核受一个粒子撞击而放出一个或几个粒子的过程核反应过程遵守下列守恒定律：电荷守恒；核子数守恒
4、；动量守恒；总质量和联系的总能量守恒等利用这些守恒定律，可以写出核反应方程式核反应能 Q 定义为反应后粒子的动能超出反应前粒子动能的差值根据总质量和联系的总能量守恒，由反应前后核和粒子的静质量可得出反应能 Q的计算公式，根据动量守恒，也可由人射粒子和出射粒子的动能及这两种粒子运动方向的夹角 值得出反应能 Q。4基本粒子的探索基本粒子之间的相互作用有四种：强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和万有引力相互作用除了电磁相互作用的传播子 光子和万有引力作用的传播子 g(尚未发现)外，其余所有的粒子按它们之间的相互作用可分为两类：强子：参与强相互作用的粒子，强子又分为重子（核子、超子）和介子两类，质子
5、（为核子）是最早发现的强子，强子具有内部结构轻子：不参与强相互作用的粒子，电子是最早发现的轻子，实验表明，轻子是点粒子，迄今尚未发现它有任何结构每一种基本粒子都有自己的反粒子，正反粒子相遇时，会发生湮灭现象，如即电子与正电子相遇时，会湮灭产生两个光子1963-1964 年间，盖尔曼提出了夸克模型1965-1966 年，我国的一批理论物理学家提出了与此类似的“层子”模型现在，这两种名称（夸克和层子）常常并提，下面我们还用夸克这一名称有六种不同的夸克，分别是上夸克（u） 、下夸克（d)、奇异夸克（s)、桀夸克（c) 、底夸克（b)和顶夸克（t)。夸克模型认为所有的重子都是由三种夸克组成，所有反重子
6、都是由三种反夸克组成，所有介子都是由一种夸克和一种反夸克组成但是，单独的夸克至今未曾测到，这还有待于人们进一步去探索二、方法演练 类型一、利用玻尔的三个量子化假设来求解类氢离子和类氢原子的问题。例 1原子核俘获一个 子（ 子质量是电子质量的 207 倍，电荷与电子相11同）形成 原子，应用玻尔理论于 原子。假设原子核静止。试求：（1） 子的第一轨道半径。已知原子核的质子数为 Z，氢原子的第一玻尔1轨道半径 。100.529am（2）电离能。（3）从第二轨道到第一轨道跃迁时所放射的光子的波长。（4）设原子核的质量数 A =2Z（即中子数 N 等于质子数 Z） ，问当 A 大于什么值时， 子轨道将
7、进人原子核内。已知原子核半径的公式为1。135.20Rm分析和解：（1）对这个问题的分析如同类氢离子的情形完全一样。设 子质量为1，处在第 n 条轨道上，其半径为 rn，速度为 ，能量(207)em n为 En，根据库仑 定律和牛顿定律，有2204nnmze原子体系的能量为2014nnnzeEr应用玻尔量子化条件，有 (1,3)nhm从以上三式可求出 子量子化的轨道半径和量子化的能量公式为1204(,3)nhrnmze240(1,2)()nEh以 代入，并注意到氢原子的第一玻尔轨道半径7e，210004.59amm氢原子的基态能量 ，可将 子的轨道半径24003.6()eEVh1和能级公式改写
8、为 ， 207nraZ207nZE令 n=1 得 子的第一轨道半径为1 10101.529ram（2） 原子的电离能为 221073.6EZEeV电 离 （ ）（3）应用频率法则， 21hc2 2000737144EZZEchhc（ ）求得从第二轨道跃迁到第一轨道时所放射的光子的波长为222041.037hcnmZE=（ ）（4）在第一轨道半径的表达式中，令 ，得到AZ1027raA要使 子进入原子核内，则要满足下式1R1R将题中的各已知量代入，可解得A94型二、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动量与能量守恒方程求解原子能量的问题。例 2有两个处于基态的氢原子 A、B
9、，A 静止，B 以速度 与之发生碰撞。已0知：碰撞后二者的速度 和 在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能态跃迁，并发出光子。如欲碰后发出一个光子，试论证：速度 至少需0要多大（以 m/s 表示）？已知电子电量为 ，质子质量为19.602eC,电子质量为 ，氢原子的基态能量为271.630Pmkg319.emkg。58EeV分析和解：为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是 n=2的第一激发态。已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比，即有 21nEK又知基态（n=1）的能量为 ，即13.58EeV123.58EKe
10、V所以 13.58eVn2 的第一激发态的能量为 2113.58.394EKeV为使基态的氢原子激发到第一激发态，所需能量为 213.9.58)0.9EeV内 （这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发生的光子的能量，即 190.62heJ内式中 为光子的频率从开始碰撞到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有 0ABm光 子 的 动 量221h（ ）光子的动量 。由上面的第二式可推得 ，因 ，所以Pc 02hm0c，故上面第一式中光子的动量与 相比较可忽略不计，第一02hm 0式变为 0()ABABm于是，符合动量与能量守恒的 的最小值可推求如下：0222 20 00111()ABABABAhmh
11、mh（ ） （ ）0Am经配方得 ，即220()4A2200()4A由此可以看出， 时， 达到最小值 ，此时 ，1minB代入有关数值，得0min2h 40min6.251/s即 B 原子的速度至少应为 。4./s类型三、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动量与能量守恒方程求解原子能量中考虑到离子的反冲与不考虑反冲相比的问题。例 3已知基态 He+的电离能为 E=54.4 eV。（1）为使处于基态的 He+进人激发态，入射光子所需的最小能量应为多少？（2）He +从上述最低激发态跃迁回基态时，如考虑到该离子的反冲，则与不考虑反冲相比，它所发射的光子波长的百分变化有多大？
12、（离子 He+的能级 En 与 n 的关系和氢原子能级公式类似。电子电荷取，质子和中子质量均取 。在计算19.602eC 271.630Pmkg中，可采用合理的近似。 ）分析和解：（1）电离能表示 He+的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量，而题中所问的最小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，所以 21154.()40.8EeV最 小 （ ）（2）如果不考虑离子的反冲，由第一激发态跃迁回基态发射的光子有关系式： 0h最 小现在考虑离子的反冲，光子的频率将不是 而是 ,则由能量守恒得 021EM最 小式中 为反冲离子的动能。又由动量守恒得 hc式中 是反冲离子动量的大小，而 是发射光子
13、的动量的大小。于hc是，波长的相对变化为 000 h由前面几式可得22201Mc由于 2()ch所以 0002220 hc代人数据：199278204.8605.41021(3)即百分变化为 0.00000054%。类型四、用迭代法求解半衰期的近似值的问题。例 4假定地球形成时同位素 和 己经存在，但不存在它们的衰变产物。238U5和 的衰变被用来确定地球的年龄 T。238U5（a）同位素 以 4. 50109 年为半衰期衰变，衰变过程中其余放射性衰238变产物的半衰期比这都短得多。作为一级近似，可忽略这些衰变产物的存在。衰变过程终止于铅的同位素 。用 的半衰期、现在 的数目206Pb238U
14、238U表示出由放射衰变产生的 原子的数目 （运算中以 109 年为单238N06n位为宜） 。（b）类似的， 在通过一系列较短半衰期产物后，以 0. 710109 年为半235U衰期衰变，终止于稳定的同位素 。写出 与 和 半衰期的关207Pb207n35N2U系式。（c）一种铅和铀的混合矿石，用质谱仪对它进行分析，测得这种矿石中铅同位素 ， 和 的相对浓度比为 1.00:29. 6: 22.6。由于同位素204Pb206207Pb不是放射性的，可以用作分析时的参考。分析一种纯铅矿石，给出这三种同位素的相对浓度之比为 1.00:17.9:15.5。已知比值 : 为238N5137:1，试导出
15、包含 T 的关系式。（d）假定地球的年龄 T 比这两种铀的半衰期都大得多，由此求出 T 的近似值。（e）显然上述近似值并不明显大于铀同位素中较长的半衰期，但用这个近似值可以获得精确度更高的 T 值。由此在精度 2%以内估算地球的年龄 T。分析和解：（a ） 其中 N0 为原始原子数， 为半衰期。02t002(1)t tnN用现在原子数 N 表示，则为 (21)tnN所以 4.5020638()t其中 t 以 109 年为单位。（b）同理 0.7120735()tnN（c） ，即 ，4.50.71682073tt 4.50.7129.623T或 0.714.50.()()TT（d）既设 ，在上式中可略去 1，而有. 0.714.50.2TT即 ，14.50.7()0.2T14.50.7lg2.38()9.38年（e）T 并不 年，但0. 710109 年。可以 T 的近似值（称为94
