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1、1 用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知。求出 并画出 曲21,5.0Nc)(nh)(log20jeH线。分析：此题给定的是理想线性相位低通滤波器，故 。 - , ,0-)( cccjjdeH解： denhnjjdd)(21)()(sincjjc为 其 他故 ：其 中 nnwnhNdc,020,)1(2si)()( 5.0 2/)1( 2用三角形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知：， 。求出 并画出 的曲线。5.0c21N)(h)(lgjeH解： )(sin21 )()( deHnh ccnjjjjddc 5.0 ,12/N）（由 题 意 可 知 ：因为用三角形
2、窗设计： )()(whnd为 其 他， nnn 0201 ,)0(2si)12( ,i03用汉宁窗设计一个线性相位高通滤波器ccjjdeH0,)()(求出 的表达式，确定 与 N 的关系。写出 的值，nh )(nh并画出 曲线 。)(lg20je51,.(c设本章是这一章的关键部分之一，即利用熵函数法设计线性相位 FIR 滤波器，是在时域进行设计的，课本中讨论了六种窗函数设计法。同样可利用熵函数法设计线性相位差分器、线性相位 90移相器（离散希尔伯特变换器）。c deHnhnjjjjdd)(201)(解 ： 根 据 题 意 有 ： cnccj njnjjnjjnjjeeedcc cc)(si)
3、1)(2)(12)()()()()()( nwnhnhd为 其 他 值nNNcn , 010)(si)(12o为 其 他 值得代 入 ，件 有 ：按 照 线 性 相 位 滤 波 器 条 nnnhnN050,)25(.si 1co12)(2552/)1(4用海明窗设计一个线性相位带通滤波器 ccjjdeH00 ,0)(求出 的表达式并画出 曲线。nh)(lg2jeH（设 ）51.0Nc， 解: 可求得此滤波器的时域函数为： cc dedenhjnjjj njjdd0021 )(21)( )( )()()()(000 cc ccnjnj jj ee 00)(cos)(sin)(2i s1 nc采用
4、海明窗设计时： 为 其 他nNNhc , 01)(s)(si2146.5)( 02/)1( 其 中 为 其 他 值得代 入 ， nnh 050,2)cos(5)si( 46.)( 5用布拉克曼窗设计一个线性相位的理想带通滤波器 ccjjdeH0 ,0,)(求出 序列，并画出 曲线。nh)(lg2jeH（设 ）514.0Nc ，解:可求得此滤波器的时域函数为：cc dejjnjjnjjdd0021 )()( )( )()(0000 ccnjnj jj eej00)(cos)(sin)(2i i nj采用布拉克曼窗设计时( N =51 )：whd25/)1( , 0 10)25(4.0cos)25
5、sin( )(8.4. NnNnj其 中 为 其 他 值这个滤波器是 90移相的线性相位带通滤波器（或称正交变换线性相位带通滤波器）。6用凯泽窗设计一个线性相位理想低通滤波器，若输入参数为低通截止频率 ，冲击响应长度点数 N 以及凯泽窗系数 ，求出 ，并c)(nh画出 曲线。)(log201jeH解：根据题意有： )(sin 2)(dehcnjjjdc其中 2/1N则所求用凯塞窗设计的低通滤波器的函数表达式为： )()(whd为 其 他 值nNIIc , 010)(sin)1/(21020）时 凯 泽 窗 相 当 于 矩 形 窗数是 一 个 可 自 由 选 择 的 参尔 函 数为 第 一 类
6、变 形 零 阶 贝 塞注 ： ( )0I7. 试用频率抽样法设计一个 FIR 线性相位数字低通滤波器。已知 。51.0Nc，分析：此题是频率抽样设计法。解：根据题意有： 其 他,0)(cjdeH则有 2513 ,0 ,1)(NkIntkc所以 2sin51 512sin2sin5125kjj kkeH8 . 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为：)()(jBPjBPeHe(1)试证明一个线性相位带阻滤波器可以表示成 0,1)(jjR(2)试用带通滤波器的单位冲激响应 来表达带阻滤nhBP波器的单位冲激响应 。)(nhBR分析：此题是证明题，难度不大，但很实用。 则 ：线 性 相 位 带 通
7、滤 波 器 ， 且 又 是 一由 于 证 明 ： ,)()( )1)( jPjBPeHecccBP00,1 ,)( 或也 是 线 性 相 位且 ）（ )()(为jBRjBReHeccc00, ,或)(1)(BPBR因 而所以带阻滤波器可以表示成：)(jj eHe(2)解：由题意可得： dnhnjBPBP)(21)( enjjR)()( )(hBPj的 特 性 ， 有 如 下 结 论 ：考 虑 到 )( 21 NI)()(sin)( nhhBPBR)(21iNnBP N )( ,)(2/1)sin为 奇 数， 为 偶 数hnhNBpBp )( ,)(2/)1sin)(h BR 为 奇 数， 为
8、偶 数有 当 nhjnIBpBp9. 已知图 P9-1 中的 是偶对称序列 ，图 P9-2 中h8N的是 圆周移位 后的序列。设)(21位移 4/)()(,)( 221 nhDFTkHnDFTkH(1) 问 成立否？ 有什么关系？211k与(2) ， 各构成一个低通滤波器，试问它们是否)(h是线性相位的？延时是多少？(3) 这两个滤波器性能是否相同？为什么？若不同，谁优谁劣？分析：此题是分析讨论题，只要用圆周移位特性即可证明。解: (1)根据题意可知： kii kii nknWHhi RhkHh4817048341702818)( )( )()( 由上式显然可以看出： , kk)(482)(1
9、12由于都满足偶对称，各 构 成 低 通 滤 波 器 时 ),( 1nh因此都是线性相位的。 5.3271 N延 时 )()1( )()( 431828kHeknRhnjkj故） 由 于（ )(2212)( (a)jk令则 ， k)(1(b) 及 都是以 为对称中心偶对1nh2 5.3/Nn称序列，故以它们为单位冲激响应构成的两个低通滤波器都是线性相位的，延迟为 2)(c) 要知两个滤波器的性能，必须求出它的各自的频率响应的幅度函数，看看它们的通带起伏以及阻带衰减的情况，由此来加以比较。 ，偶数，线性相位，故有812/0)21cos()(NnnhH)2/7cos()02/5cos()1 331
10、4)(cs)(27/13hhnnN可以令 6 ,70(11 42及 3)( ,4)2hh5(2代入可得：)2/7cos(4)/5cs(3 32o)( )/()/(421 H）如下：的 图 形及由 以 上 两 式 可 画 出 1H对 )(2 对 1H20 log|H( ) /H(0)| (dB)的 通 带 要 宽 一 些 。 的 带 通 较 之但。平 滑 衰 减 它 们 都 是，当 然 从 带 通 来 看，于优从 这 一 点 看 来，的 阻 带 衰 减 小 而，的 阻 带 衰 减 大可 以 看 出 )( )( )( )(212 121 H10. 请选择合适的窗函数及 N 来设计一个线性相位低通滤
11、波器ccjjdeH,00)(要求其最小阻带衰减为-45dB，过渡带宽为 。51/8（1）求出 并画出 曲线。（设 ）)(nh)(log210je.c（2）保留原有轨迹，画出用另几个窗函数设计时的曲线。log01je分析：此题是真正实用的设计题，从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择（当然用凯泽窗则可改变 来满足阻带衰减的要求）而 N 的选择则影响过渡带宽。解：(1) 因为题目要求设计的低通滤波器的最小阻带衰减为-45dB，对照书上的表格六种窗函数基本参数的比较可以知道：矩形窗，三角形窗，汉宁窗都不符合条件，所以应该选择海明 即 小 于 所，过 渡 带 宽 为窗 。 选 5186.,43NN需的过渡带宽，满足要求，则有： )(2cos.05.)( nRnw又根据题目所给低通滤波器的表达式求得： cdehnjd21)( )(sic由此可得： 为 其 他 值nnwnd,0 420 ,)1(5.si21cos46.5.)()( 21/)(N此 处
