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1、前三题练习（4）答案1(本小题满分 13 分) 已知向量 , , .a)sin,(coxb)cos,(x)0,1(（）若 ，求向量 、 的夹角；6xac（）当 时，求函数 的最大值.89,22)(baxf解: （）当 时，x2 分222coscos,sin(1)0acxr3 分6ox4 分5cs ar,0 6 分6c（） 8 分1)cosincos(21)( xxbaxfsin210 分)4si(cxx 89,2x ，故 11 分,432,1)42sin(x当 ,即 时, 13 分2xmaxf12(本小题满分 13 分)已知袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个红球.()从袋中随机地将球逐个
2、取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数 的数学期望；()从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取 4 次球，求共取得红球次数 的方差.解：() 依题意， 的可能取值为 2,3，4 1 分； 3 分52)(64AP； 5 分)()3(361241C； 7 分51)()4(46312ACP . 45E故取球次数 的数学期望为 8 分1() 依题意，连续摸 4 次球可视作 4 次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为 ，则3210 分)32,(B . 98)1(32D故共取得红球次数 的方差为 13 分13 (本小题满分 13 分)如图，边长为 2 的等边PCD
3、所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC ，M 为 BC 的中点.()证明：AMPM ；()求二面角 PAM D 的大小；()求点 D 到平面 AMP 的距离.解法 1：() 取 CD 的中点 E，连结 PE、EM、EAPCD 为正三角形PECD，PE=PDsinPDE=2sin60= 3平面 PCD平面 ABCDPE平面 ABCD 3 分四边形 ABCD 是矩形ADE、ECM、ABM 均为直角三角形由勾股定理可求得EM= ，AM= ，AE=336 5 分22AEMEAME=90AMPM 6 分()由()可知 EMAM，PMAMPME 是二面角 PAMD 的平面角8 分tan PME=
4、13EPME=45二面角 PAMD 为 45； 10 分()设 D 点到平面 PAM 的距离为 ，连结 DM，则d11 分AMAV SESPD3131MPD CBE BCDPM而 221CDASDM在 中，由勾股定理可求得 PM= .RtPE6,3AM所以： ,d1231 .6d即点 D 到平面 PAM 的距离为 .13 分362解法 2：() 四边形 ABCD 是矩形BCCD平面 PCD平面 ABCDBC平面 PCD2 分而 PC 平面 PCDBCPC同理 ADPD在 RtPCM 中，PM= 62)(2PCM同理可求 PA= ，AM=326 5 分2APAPMA=90即 PMAM 6 分()
5、取 CD 的中点 E，连结 PE、EMPCD 为正三角形PECD，PE=PDsinPDE=2sin60= 3平面 PCD平面 ABCDPE平面 ABCD由() 可知 PMAMEMAMPME 是二面角 PAMD 的平面角8 分sin PME= 263MEPME=45二面角 PAMD 为 45； 10 分()同解法()解法 3：() 以 D 点为原点，分别以直线 DA、DC 为x 轴、 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ,Dxyz依题意，可得),02(),310(),(CP E B CDPM2 分)0,2(),02(MA )3,12(3P4 分0),(),( ),(12A即 ,AMPM. 6 分MP()设 ，且 平面 PAM，则),(zyxnn即0A0),2(),31 23yxzz取 ，得 6 分1y)3,12(n取 ，显然 平面 ABCD),0(pp 26|,cosn结合图形可知，二面角 PAMD 为 45；10 分() 设点 D 到平面 PAM 的距离为 ，由()可知 与平面 PAM 垂直，则d)3,12(n= .|nAd36)(1)2(|,0,2即点 D 到平面 PAM 的距离为 .13 分36zyxMPD CB
