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1、直角三角形与勾股定理一、选择题1 （2014 湖南张家界，第 7 题，3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=60，DE 是斜边AC 的中垂线，分别交 AB、AC 于 D、E 两点若 BD=2，则 AC 的长是（）A4 B 4C8 D 8考点： 线段垂直平分线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理分析： 求出ACB，根据线段垂直平分线求出 AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出 BC，再求出 AC 即可解答： 解：如图，在 RtABC 中，ACB=60 ，A=30DE 垂直平分斜边 AC，AD=CD，A= ACD=30 ，DCB=6030=30 ，BD=2
2、，CD=AD=4，AB=2+4+2=6 ，在BCD 中，由勾股定理得：CB=2 ，在ABC 中，由勾股定理得：AC= =4 ，故选：B点评： 本题考查了线段垂直平分线，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中3. （2014十堰 9 （3 分） ）如图，在四边形 ABCD 中，AD BC ，DEBC，垂足为点E，连接 AC 交 DE 于点 F，点 G 为 AF 的中点，ACD=2 ACB若 DG=3，EC=1 ，则DE 的长为（）A 2 B C 2 D考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性
3、质；直角三角形斜边上的中线分析： 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 DG=AG，根据等腰三角形的性质可得GAD=GDA，根据三角形外角的性质可得CGD=2GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得ACD=CGD ，根据等腰三角形的性质可得 CD=DG，再根据勾股定理即可求解解答： 解：ADBC ，DEBC，DEAD ， CAD=ACB点 G 为 AF 的中点，DG=AG，GAD=GDA，CGD=2CAD，ACD=2ACB，ACD=CGD，CD=DG=3，在 Rt CED 中， DE= =2 故选：C点评： 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明
4、CD=DG=35. （2014山东淄博 ,第 10 题 4 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线 MN 恰好过点 C则矩形的一边 AB 的长度为（）A 1 B C D 2考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质菁优网分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接 CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC求出 EC 后根据勾股定理即可求解解答： 解：如图，连接 ECFC 垂直平分 BE，BC=EC（线段垂直平分线的性质）又 点 E 是 AD 的中点，AE=1，AD=BC，故 EC=2利用勾股定理可得 AB=CD= = 故选：C点评：
5、本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明 BC=EC 后易求解本题难度中等6. （ 2014安徽省 ,第 8 题 4 分）如图，Rt ABC 中，AB=9 ，BC=6，B=90，将ABC折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（）A B C 4 D 5考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 设 BN=x，则由折叠的性质可得 DN=AN=9x ，根据中点的定义可得 BD=3，在Rt ABC 中，根据勾股定理可得关于 x 的方程，解方程即可求解解答： 解：设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9x ，D 是
6、BC 的中点，BD=3，在 RtABC 中，x 2+32=（9x） 2，解得 x=4故线段 BN 的长为 4故选：C点评： 考查了翻折变换（折叠问题） ，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大9 （2014 年山东泰安，第 8 题 3 分）如图，ACB=90，D 为 AB 的中点，连接 DC 并延长到 E，使 CE= CD，过点 B 作 BFDE，与 AE 的延长线交于点 F若 AB=6，则 BF 的长为（）A6 B 7 C 8 D 10分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD= AB=3，则结合已知条件 CE= CD 可以求得 ED=4然后
7、由三角形中位线定理可以求得 BF=2ED=8解：如图，ACB=90，D 为 AB 的中点，AB =6，CD= AB=3又 CE= CD，CE=1，ED= CE+CD=4又 BFDE，点 D 是 AB 的中点，ED 是AFD 的中位线，BF=2ED =8故选：C 点评： 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线根据已知条件求得 ED 的长度是解题的关键与难点10 （2014 年山东泰安，第 12 题 3 分）如图是一个直角三角形纸片，A=30，BC=4cm，将其折叠，使点 C 落在斜边上的点 C处，折痕为 BD，如图，再将沿 DE折叠，使点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，如图，则
8、折痕 DE 的长为（）A cm B 2 cm C 2 cm D 3cm分析：根据直角三角形两锐角互余求出ABC=60，翻折前后两个图形能够互相重合可得BDC=BDC ，CBD=ABD =30，ADE=ADE，然后求出BDE=90，再解直角三角形求出 BD，然后求出 DE 即可解：ABC 是直角三角形，A=30，ABC =9030=60，沿折痕 BD 折叠点 C 落在斜边上的点 C处，BDC=BDC ，CBD=ABD = ABC=30，沿 DE 折叠点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，ADE=ADE，BDE=ABD +ADE= 180=90，在 RtBCD 中，BD=BCcos30=4 =
9、cm，在 RtADE 中，DE= BDtan30= = cm故选 A点评： 本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是 30角的直角三角形是解题的关键12 （2014 随州，第 7 题 3 分）如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在 C 点测得BCD=60，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为（）A100 米 B50 米 C米 D50 米考点： 解直角三角形的应用分析： 过 B 作 BMAD，根据三角形内角与外角的关系可得ABC=30，再根据等角对等边可得 BC=AC，然后再计算出CBM 的度数，进而得到 CM
10、长，最后利用勾股定理可得答案解答： 解：过 B 作 BMAD，BAD=30，BCD=60，ABC=30 ，AC=CB=100 米，BMAD ，BMC=90 ，CBM=30 ，CM= BC=50 米，BD= =50 米，故选：B点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明 AC=BC，掌握直角三角形的性质：30角所对直角边等于斜边的一半13 （2014 黔南州，第 11 题 4 分）如图，在ABC 中， ACB =90，BE 平分ABC，ED AB 于 D如果A=30，AE=6cm，那么 CE 等于（）A cm B 2cm C 3cm D 4cm考点： 含 30 度角的直角三角形分析：
11、根据在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半得出 AE=2ED，求出 ED，再根据角平分线到两边的记录相等得出 ED=CE，即可得出 CE 的值解答： 解：EDAB ，A=30，AE=2ED，AE=6cm，ED=3cm，ACB=90 ， BE 平分ABC，ED= CE，CE=3cm；故选 C点评： 此题考查了含 30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出 ED=CE14(2014 年广西钦州，第 12 题 3 分) 如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到 B 点只能沿
12、图中的线段走，那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有（）A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4 种考点： 勾股定理的应用专题： 计算题分析： 如图所示，找出从 A 点到 B 点的最短距离的走法即可解答： 解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为 +1=2 +1，则从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有 3 种，故选 C点评： 此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键15(2014 年贵州安顺，第 9 题 3 分) 如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，E 为 AB上一点且 AE：EB =4：1，EFAC 于 F，连接 FB，则 tanCFB 的值等于（）A A
13、 B C D考点： 锐角三角函数的定义.分析： tan CFB 的值就是直角BCF 中，BC 与 CF 的比值，设 BC=x，则 BC 与 CF 就可以用 x 表示出来就可以求解解答： 解：根据题意：在 RtABC 中，C =90，A =30，EFAC，EFBC，AE：EB=4：1， =5， = ，设 AB=2x，则 BC=x，AC= x在 RtCFB 中有 CF= x，BC=x则 tanCFB= = 故选 C点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边16 （2014 山西，第 4 题 3 分）如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经
14、作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A黄金分割 B垂径定理 C勾股定理 D正弦定理考点： 勾股定理的证明分析： “弦图” ，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明解答： 解：“弦图” ，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理故选 C点评： 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明17. （ 2014乐山，第 7 题 3 分）如图，ABC 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC 于点 D则 CD 的长为（）ABCD考点： 勾股定理；三角形的面积.分析： 利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法
15、求得 BD 的长度；最后在直角BCD 中，利用勾股定理来求 CD 的长度解答： 解：如图，由勾股定理得 AC= = BC2= ACBD，即 22= BDBD= 在直角BCD 中，由勾股定理知，CD= = 故选：C点评： 本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段 BD 的长度是解题的关键19(2014 年湖北黄石) （2014湖北黄石,第 5 题 3 分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中1+2 的度数是（）第 1 题图A 30 B 60 C 90 D 120考点： 直角三角形的性质分析： 根据直角三角形两锐角互余解答解答： 解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，1+2=90故选 C点评： 本题考查了
