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1、球与几何体的切、接问题及近年常考题王宪良一、理清位置,学会画图1、正方体的内切球 2、球与正方体的棱相切3. 正方体的外接球分别作图如下说明:1.正方体的内切球:球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为,球半径为 。如图,截面图为正方形 的内切圆,得 ;aREFGH2aR2.与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图作截面图,圆 为正O方形 的外接圆,易得 。EFGHaR23.正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图,以对角面 作截面图得,圆 为矩形1AC的外接圆,易得 。CA1 aOAR231二、解决球心位置和半径
2、大小的常用方法1. 出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ,则体对角线长为cba,,几何体的外接球直径 为体对角线长 即22cbalR2l2cbR【例题】:在四面体 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为 ,若该四ABCD 3,61,面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。解:因为有三条棱两两垂直,所以可补成球内接长方体。因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以:四面体外接球的直径为 的长,即: AE224ADCBR所以1631422R2R所以球的表面积为 42S2. 出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。【原理】:直角三角
3、形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上, 且 , ,OBCA7P5B, ,求球 的体积。51PC0A解: 且 , , , ,因为 所以知B7P5B1PC022105,所以 所以可得图形为:22在 中斜边为 ; 在 中斜边为ACRtAARtC取斜边的中点 ,在 中OBCt O在 中Pt所以在几何体中 ,即 为该四面体的外接球的球心, A 521ACR所以该外接球的体积为 3504RV3. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ACDBEOABCP【例题】:已知在三棱锥 中, , , ,BCDAABC面1202ACDB求该棱
4、锥的外接球半径。解:由已知建立空间直角坐标系)0(,A)2(, )20(,由平面知识得 )031(,C设球心坐标为 则 ,由空间两点间距离公式知),(zyxODOCBA2222zyx 2222 )(zyxzyx)3()1(zyx解得 所以半径为z 51322表R【注】空间两点间距离公式: 121 )()()( zyxPQ4. 棱锥的内切、外接球问题【例题】:正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。解:如图 1 所示,设点 是内切球的球心,正四面体棱长O为 由图形的对称性知,点 也是外接球的球心设内切球半径为a,外接球半径为 rR正四面体的表面积 2234aS表正四面体的体积 22211BEAEVBCDA 322313aa, BCDAVrS表3QaSVrBCDA1263表ACzx y图 1在 中, ,即 ,得 ,得BEORt22EOB223raRaR46r3【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为 ( 为正四面体的高),且外接球的半径 ,4h 4h从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。BERt另外,记住以下结论,会对解题有帮助:三、常考题训练答案: