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1、球与几何体的切、接问题及近年常考题王宪良一、理清位置，学会画图1、正方体的内切球 2、球与正方体的棱相切3. 正方体的外接球分别作图如下说明：1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为 。如图，截面图为正方形 的内切圆，得 ；aREFGH2aR2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆 为正O方形 的外接圆，易得 。EFGHaR23.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面 作截面图得，圆 为矩形1AC的外接圆，易得 。CA1 aOAR231二、解决球心位置和半径
2、大小的常用方法1. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，则体对角线长为cba,，几何体的外接球直径 为体对角线长 即22cbalR2l2cbR【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 ，若该四ABCD 3,61，面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为有三条棱两两垂直，所以可补成球内接长方体。因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为 的长，即： AE224ADCBR所以1631422R2R所以球的表面积为 42S2. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角
3、形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上， 且 ， ，OBCA7P5B， ,求球 的体积。51PC0A解： 且 ， ， ， ，因为 所以知B7P5B1PC022105，所以 所以可得图形为：22在 中斜边为 ； 在 中斜边为ACRtAARtC取斜边的中点 ，在 中OBCt O在 中Pt所以在几何体中 ，即 为该四面体的外接球的球心， A 521ACR所以该外接球的体积为 3504RV3. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解ACDBEOABCP【例题】：已知在三棱锥 中， ， ， ，BCDAABC面1202ACDB求该棱
4、锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系)0(，A)2(， )20(，由平面知识得 )031(，C设球心坐标为 则 ,由空间两点间距离公式知),(zyxODOCBA2222zyx 2222 )(zyxzyx)3()1(zyx解得 所以半径为z 51322表R【注】空间两点间距离公式： 121 )()()( zyxPQ4. 棱锥的内切、外接球问题【例题】：正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点 是内切球的球心，正四面体棱长O为 由图形的对称性知，点 也是外接球的球心设内切球半径为a，外接球半径为 rR正四面体的表面积 2234aS表正四面体的体积 22211BEAEVBCDA 322313aa， BCDAVrS表3QaSVrBCDA1263表ACzx y图 1在 中， ，即 ，得 ，得BEORt22EOB223raRaR46r3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，4h 4h从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。BERt另外，记住以下结论，会对解题有帮助：三、常考题训练答案：
