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1、第 1 页（共 16 页）第 3章 勾股定理一、选择题1下列各组数为勾股数的是（）A6，12，13 B3，4，7 C4，7.5，8.5 D8，15，172把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的（）A2 倍 B4 倍 C3 倍 D5 倍3下列说法中，不正确的是（）A三个角的度数之比为 1：3：4 的三角形是直角三角形B三个角的度数之比为 3：4：5 的三角形是直角三角形C三边长度之比为 3：4：5 的三角形是直角三角形D三边长度之比为 5：12：13 的三角形是直角三角形4三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b） 2=c2+2ab，则这个三角形是（）A等边三角形 B
2、钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形5如图在直角ABC 中，BAC=90，AB=8，AC=6，DE 是 AB边的垂直平分线，垂足为 D，交边 BC于点 E，连接 AE，则ACE 的周长为（）A16 B15 C14 D136RtABC 两直角边的长分别为 6cm和 8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A10cm B3cm C4cm D5cm二、填空题7若ABC 的三边长满足 a2=b2+c2，则ABC 是三角形且 =908在 RtABC 中，已知两边长为 6和 8，则第三边长为9已知 x、y 为正数，且|x 24|+（y 216） 2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，
3、那么这个直角三角形的斜边长为第 2 页（共 16 页）10在ABC 中，若三条边的长度分别为 9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是11如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形 A，B，C 的面积分别是 8cm2，10cm 2，14cm 2，则正方形 D的面积是cm 212如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为 6厘米，高为 8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米三、解答题13某直角三角形的周长为 30，且一条直角边长为 5，求另一条直角边的长14如图 1，是一个长方体盒子，长 AB=4，宽 B
4、C=2，高 CG=1（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点 A沿盒子表面爬到点 G，求它所行走的最短路线的长（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？解：（1）蚂蚁从点 A爬到点 G有三种可能，展开成平面图形如图 2所示，由勾股定理计算出 AG2的值分别为、 、 ，比较后得 AG2最小为 即最短路线的长是 （2）如图 3，AG 2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21第 3 页（共 16 页）15一个三角形三条边的比为 5：12：13，且周长为 60cm，求它的面积16如图，直线 l上有三个正方形 a、b、c，其中 a、c 的面积分别为 5和 11求正方形 b的面积
5、17如图，在ABC 中，AB=AC=25，点 D在 BC上，AD=24，BD=7，试问 AD平分BAC 吗？为什么？18某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长第 4 页（共 16 页）第 3章 勾股定理参考答案与试题解析一、选择题1下列各组数为勾股数的是（）A6，12，13 B3，4，7 C4，7.5，8.5 D8，15，17【考点】勾股数【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可【解答】解：A、6 2+1221
6、3 2，故错误；B、3 2+427 2，故错误；C、7.5，8.5 不是正整数，故错误；D、8 2+152=172，故正确故选 D【点评】本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断2把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的（）A2 倍 B4 倍 C3 倍 D5 倍【考点】勾股定理【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的 2倍【解答】解：设一直角三角形直角边为 a、b，斜边为 c则 a2+b2=c2；另一直角三角形直角边为 2a、2b，则根
7、据勾股定理知斜边为 =2c即直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的 2倍故选 A【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形第 5 页（共 16 页）3下列说法中，不正确的是（）A三个角的度数之比为 1：3：4 的三角形是直角三角形B三个角的度数之比为 3：4：5 的三角形是直角三角形C三边长度之比为 3：4：5 的三角形是直角三角形D三边长度之比为 5：12：13 的三角形是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选择正确答案【解答】解：A、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为 22.5，67.5，90，所以
8、是直角三角形；B、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为 45，60，75，所以不是直角三角形；C、两边的平方和等于第三边的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形；D、两边的平方和等于第三边的平，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形故选 B【点评】此题考查了利用三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理来判定直角三角形的方法解题的关键是对知识熟练运用4三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b） 2=c2+2ab，则这个三角形是（）A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理【分析】对等式进行整理，再判断其形状【解答】解：化简（a+b） 2=c2+
9、2ab，得，a 2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定5如图在直角ABC 中，BAC=90，AB=8，AC=6，DE 是 AB边的垂直平分线，垂足为 D，交边 BC于点 E，连接 AE，则ACE 的周长为（）第 6 页（共 16 页）A16 B15 C14 D13【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理【分析】首先连接 AE，由在直角ABC 中，BAC=90，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得 BC的长，又由 DE是 AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得 AE=BE，继而可得ACE的周长为：BC+AC【解答
10、】解：连接 AE，在 RtABC 中，BAC=90，AB=8，AC=6，BC= =10，DE 是 AB边的垂直平分线，AE=BE，ACE 的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16故选 A【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用6RtABC 两直角边的长分别为 6cm和 8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A10cm B3cm C4cm D5cm【考点】勾股定理；三角形中位线定理【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第
11、三边并且等于第三边的一半解答【解答】解：RtABC 两直角边的长分别为 6cm和 8cm，斜边= =10cm，连接这两条直角边中点的线段长为 10=5cm故选 D第 7 页（共 16 页）【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键二、填空题7若ABC 的三边长满足 a2=b2+c2，则ABC 是直角三角形且 A=90【考点】勾股定理的逆定理【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行解答即可【解答】解：ABC 的三边长满足 a2=b2+c2，ABC 是直角三角形且A=90故答案为：直角，A【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，
12、b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键8在 RtABC 中，已知两边长为 6和 8，则第三边长为10 或 2 【考点】勾股定理【分析】由于斜边没有明确的规定，所以要分情况求解【解答】解：当 8是斜边时，第三边是 = =2 ；当 8是直角边时，第三边是 10【点评】此类题一定要注意两种情况，熟练运用勾股定理9已知 x、y 为正数，且|x 24|+（y 216） 2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为2 【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方【分析】根据非负数的性质列式求出 x2、y 2，再利用
13、勾股定理列式计算即可得解【解答】解：由题意得，x 24=0，y 216=0，所以，x 2=4，y 2=16，由勾股定理得，斜边的平方=x 2+y2=4+16=20，所以，斜边= =2 故答案为：2 第 8 页（共 16 页）【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质，几个非负数的和为 0时，这几个非负数都为 0列出方程是解题的关键10在ABC 中，若三条边的长度分别为 9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是108【考点】勾股定理的逆定理【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定给三角形的形状，求拼成的四边形的面积就是这样两个三角形的面积和，由此列式解答即可【解答】解：9 2+12
14、2=225，15 2=225，9 2+122=152，这个三角形为直角三角形，且 9和 12是两条直角边；拼成的四边形的面积= 9122=108故答案为：108【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键11如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形 A，B，C 的面积分别是 8cm2，10cm 2，14cm 2，则正方形 D的面积是17cm 2【考点】勾股定理【分析】根据勾股定理有 S 正方形 1+S 正方形 2=S 大正方形 =49，S 正方形
15、C+S 正方形 D=S 正方形 2，S 正方形A+S 正方形 B=S 正方形 1，等量代换即可求正方形 D的面积【解答】解：根据勾股定理可知，S 正方形 1+S 正方形 2=S 大正方形 =49，S 正方形 C+S 正方形 D=S 正方形 2，第 9 页（共 16 页）S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 1，S 大正方形 =S 正方形 C+S 正方形 D+S 正方形 A+S 正方形 B=49正方形 D的面积=4981014=17（cm 2）；故答案为：17【点评】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积12如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为 6厘米，高为 8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米【考点】勾股定理的应用【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 =10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出【解答】解：如图所示，
