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1、 激活思维专题系列之三角恒等变换的灵感天地一、重要知识点感悟及深化1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下： sin()sicosin; cos()csosinm;tanta1tm对其变形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有时应用该公式比较方便。2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： sinicos. 2222csosincos1sin.2tata1.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次） 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 2cos1sin,2cocs22 这两个形式常用。3.辅助角公式：asinx+bcosx= )xin(ba（其中 tanb）是
2、常用转化手段。特别是与特殊角有关的 sincosx，sinx 3cosx，要熟练掌握其变形结论。二数学思想，思维方向及经典题型剖析三角恒等变换的三个思考方向（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ，()()2()()， ， 等） 。2()()2如：1、已知 ， ，那么 的值是_tan()51tan()4tan()42、 ，且 ， ，求029cos23sicos()3、已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关,i,xyco()5yx系为_ 4 的值是 ( )2cos10 sin20sin705. cos20/cos35(根号下 1
3、-sin20)= 6.sin2x + cosxcos(60+x)-sin2(30-x)=(2)三角函数名称互化(切割化弦)，如1、求值 si5(13tan0)oo2、化简：2sin50+sin10（1+ 3tan10） 2sin80(3)式子结构（公式的正用逆用各种变形用）1、A、B 为锐角，且满足 ，则 _tatant1ABco()AB2、 ， ， ， 则三角形形Ctn 34si状为 3 已知 ，求 的值sico21,ta()23tan(2)4 递增区间255f(x)sinxcosx(R)5 函数 2co()in11是（ C ）（A）周期为 的奇函数 （B）周期为 的偶函数（C）周期为 的奇
4、函数 （D）周期为 的偶函数6 化简： 422costan()i()xx7 当函数 取得最大值时， 的值是_3ystanx8 已知 ,31cos,21i 则 )cos(值等于（ 7259 ）9 已知 sin（ + ）= 3，sin（ ）= 4，求 2tantan()的值 。10 若 ,2sin求 cos的取值范围。三角恒等变换单元检测一、选择题1在ABC 中，已知 2sinAcosBsinC，则ABC 一定是 ( )A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形2 （2cos80） 的值是 ( )2cos10 sin20sin70A B C D12 3 23已知 x( ,0)，cos
5、x ，则 tan2x 等于 ( ) 2 45A B C D724 724 247 2474已知 sin()0，cos()0，则下列不等关系中必定成立的是()Atan cot ， Btan cot ， Csin cos ， 2 2 2 2 2 2Dsin cos 5等式 sin cos 有意义，则 m 的取值范围是 () 2 2 3 4m 64 mA(1, ) B1, C 1, D ,173 73 73 736在ABC 中，已知 tan sinC，则以下四个命题中正确的是 ()A B2(1)tanAcotB1(2)1sinAsinB (3)sin2Acos2B1(4)2cos2A cos2B s
6、in2CA B C D7已知 (0,)，且 sin cos ，则 tan 的值为 ()15A B 或 C D 或43 43 34 34 43 348函数 )cos(ins2xxy的最大值为( ) A.1 B. 1 C. 2 D.2二填空题9f(x) 的值域为 sinx cosx1 sinx cosx10(04 江苏) 已知 0 ，tan cot ，则 sin( )的值为 2 2 2 52 311 若 x 是方程 2cos(x) 1 的解，(0,2)，则 312已知 coscos21，则 sin2sin6sin8 13函数 y5sin(x20) 5sin(x80) 的最大值是 。14若圆内接四边
7、形的四个顶点 A、B、C、D 把圆周分成 AB 4385，则四边形四个内角 A、B、C、D 的弧度数为 。BC CD DA 15在ABC 中，sinA cosA ，AC2，AB3，则 tanA= ，ABC 的面积为 三解答题16设 cos( ) ，sin( ) ，且 ，0 ，求 2 19 2 23 2 2cos（） 17已知 6sin2sincos 2cos20， ,，求 sin(2 )的值 2 318在矩形 ABCD 中，AB a，BC2a，在 BC 上取一点 P，使得 ABBPPD，求tanAPD 的值19是否存在锐角 和 ，使 2 ，且 tan tan2 ，同时成立？若23 2 3存在，
8、求出 和 的值；若不存在，请说明理由20.已知 sin+sin =m,cos+cos= 2.(1)求实数 m 的范围.(2)当 m 取最小值时，求sin(+) 的值.21.已知 AB=2a，在以 AB 为直径的半圆上有一点 C，设 AB 中点为 O，AOC=60.(1)在BC上取一点 P，若BOP=2,把 PA+PB+PC 表示成 的函数；(2)设 f()=PA+PB+PC，当 为何值时 f()有最大值，最大值是多少?三角恒等变换测试题参考答案：一、选择题1B由 2sinAcosBsin(AB) sin(BA)0 BA2C 原式 2cos(30 20) sin20cos20 3则 f(x) ,
9、 1(1, )t 123D4B sin0，cos0，tan cot 0 2 2 2cossintan cot 2 25C 6B 解：由 tan sinC。cosC0，C A B2 1 cos(A B)sin(A B) 1 cosCsinC 2AB 故式tan2A1。式sinAcosA sin(A )(1， )， 2 2 4 2式2sin2A1，式cos2Asin2A 1sin2C 7A 解：当 (0, )时，sincos sin( )1故 ( ,) 2 2 4 2sin0,cos0且|sin |cos|tan |1由(sincos)2 sin2 tan 或 tan (舍)125 2425 2t
10、an1 tan2 2425 43 348A 解： 214sisicosinsi2 xxxxy。二填空题9 令 tsin xcos x sin(x ) ,1 (1, )2 4 2 210 tan cot sin cos 2 2 2sin 52 45 35sin( ) sin cos 3 1211 。 43121 解：cossin2，sin6cos3，sin8cos4sin2sin6sin8 coscos3 cos4coscos2 (coscos2)coscos21137 解：y3sin(x20)5sin(x 20)cos60cos(x20)sin60 sin(x20) cos(x20)7sin(
11、x20)711214 0, , , ，解 故四条弧所对圆心角分别为 ， ， ，1320 920720 24 3 8 5 10 410 310 810510四内角分别为 ( ) ( ) ， ， 12310 810 1120 12810 510 1320 920 72015解：sinAcosA cos(A45) ， cos(A45) 2120A180，A4560，A105，tanAtan(6045)2 ， sinAsin(6045) ，3SABC ACABsinA 23 ( )12 12 34 6 2三解答题16分析： ( )( ) 2 2 2解：( ,)(0, ) ， 2 2 4 2 4 2 2
12、由 cos( ) 得 sin( ) ，由 sin( ) 得 cos( ) 2 19 2 2 23 2cos cos( ) ( ) cos() 2( ) 2 2 221 23972917解：依题知 ，cos0方程可化为 6tan2tan20 tan 或 2 23 12(舍)sin(2 )sin2cos cos2 sin sincos (cos2sin2 ) 3 3 3 sin cossin2 cos2 cos2 sin2cos2 sin2 tan1 tan2 1 tan21 tan2 61318解：如图作 PEAD 于 E设 BPX 则 xa ，x ，(2a x)2 a22a3AEBP ，DEPC a，tanAPD tan(1 2) 182a3 4319解 1：由得 ，tan( ) 2 3 2 3将代入得 tan tan
