《圆锥曲线定义的联想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线定义的联想（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1圆锥曲线定义的联想实践新课标的一个教学设计浙江省黄岩中学 冯海容 3180201 设计理念数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习.高中数学新课程标准倡导：自主探索、动手实践、合作交流等学习方式；强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验.同时高中数学新课程标准提倡信息技术与课程内容的有机整合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现.基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单地告诉学生几个结论，而是创设一些数学情境，让学生自己提出问题、
2、分析问题、解决问题，从这个过程中让学生体会到：“数学”并不是凭空产生的，发现“数学”并不都是高不可攀的事情，通过我的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们的提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.2 教学目标通过本课题的探究性学习让学生发现和掌握与圆锥曲线定义相关的几种曲线，通过发现和分析这几种曲线，培养学生的创新意识和思维能力，向学生渗透一些基本的数学思想、方法，给学生成功的体验，激发学生的学习兴趣.3 教学过程3.1 启问阶段（第一课时）3.1.1
3、创设问题情境，提出问题为了使学生能够在短时间内领悟联想、发散性思维的规律，笔者设计该问题，试图从创设该问题的情境，引导学生理解联想、发散性思维的规律，激发学生的学习兴趣，并为后继的数学探究活动打下基础.问题 1 请尽可能多的说出红砖的用途？越多越好.（并在各小组之间比赛）开始，大多数学生受到“红砖是建筑材料”这一思维定势的影响，说得基本是造房子、铺路、筑墙等用途.后来一个顽皮的学生补充说：“还可以当武器用：打人、打狗，也可以压东西” ，引得大家哄堂大笑.但受到他的影响，大家的思维发散开了，又说出很多用途，但这种思维方法，东一榔头，西一棒子，颇有些“ 零打碎敲”的味道，思维的流畅性和变通性受到限
4、制.最后，大家在教师的指导下领悟到：首先把红砖的各种要素（或特性）列出来，如：形状、体积、重量、硬度、颜色、材料，再把用途的要素（或特性）初步列出，如：数学、文字、图案、物理、化学、音乐等；然后，将两列要素（或特性）进行组合，它的用途将无穷无尽地产生.举例说它有形状，与数学组合，可以用砖头排成1、2、3、等所有的数学符号；与文字给合，可以用砖头组合成各种文字，再由字组成各种句子、成语、诗歌；字，有中文、英文、俄文等；可以组成各种2图案；可以组成物理化学中的各种公式、符号等.这后一种思维方法叫做“多路联想组合思维” ，掌握这种思维方法，不仅有利于开拓思路，还可以使自己的思维更加周密，更带条理性.
5、3.1.2 提出课题有了问题 1 的准备，水到渠成提出该课题，试图再一次激发学生的学习兴趣，真正开始数学探究活动.问题 2 圆锥曲线有两个定义，椭圆（双曲线）的第一定义：到两定点距离的和（差的绝对值）的动点轨迹；圆锥曲线的统一定义：与到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比为常数的动点的轨迹.学了两个圆锥曲线的定义，你有何想法？你还有什么要研究的吗？有了问题 1 的准备，大多数学生开始思考、分析圆锥曲线这两个定义中的特征和要素，并展开联想：椭圆（双曲线）的第一定义也有此特征.学过图形：点、线、线段、圆、圆锥曲线等；学过的度量：距离、斜率、角、切线长等；关系有：和、差、积、比、平方和、平方差等.
6、通过联想、组合提出新的问题，激发了学生的学习兴趣！有许多轨迹问题提出来，下列是学生提出的部分轨迹问题：到两定点距离的比（积、平方和、平方差、立方和、立方差等）为常数的动点的轨迹.与到一个定点到和到一条定直线距离的和（差、积、平方和、平方差、立方和、立方差等）为常数的动点的轨迹.到两直线距离的和（差、比、积、平方和、平方差、立方和、立方差等）为常数的动点的轨迹.与到一个定点的距离和到一个定圆的距离的和（差、比、积、平方和、平方差、立方和、立方差等）为常数的动点的轨迹.到两定圆的切线长的和（差、比、积、平方和、平方差、立方和、立方差等）为常数的动点的轨迹.教师继续提问：这些轨迹的形状究竟是什么呢？
7、能不能由几何画板作出？它们的轨迹方程是什么呢？有没有我们学过的曲线呢？教师：这些问题都具有挑战性，由于时间关系，这些问题我们在课后继续小组研究，明天的课上各小组交流并讨论.教师划分小组，并初步确定各小组的探索内容、负责人、陈述人.3.2 自主探索、动手实践、合作学习阶段课后各小组经讨论确定探索内容、各成员的任务及职责，然后各成员自主探索、动手实践，再合作交流.教师在此期间，深入各小组，了解各小组的探索动态，做好引导角圆锥曲线统一定义：与到一个 定点 和到一条 定直线 的 距离 的 比为常数 的动点的轨迹.图形 图形 度量 关系特征：3色，并提供几何画板的技术帮助.3.3 交流提升阶段（第二课时
8、）在教师的调控下，各小组提交获得的成果在全班交流，并以集体名义对所得成果进行评价，在交流中学生的思维视野再一次得到开拓和提升.教师：课前各小组对圆锥曲线的定义作出各种各样的联想和探索，现在请各小组的陈述人谈谈本小组的联想和探索.陈述人 1：本小组从圆锥曲线的定义出发联想，探索以下轨迹问题：到两定点距离的比（积、平方和、平方差、立方和、立方差等）为常数的动点的轨迹.结论 1 到两定点距离的比为常数的点的轨迹为圆或直线；以一定点为坐标原点，这两定点所在的直线为 X 轴建立坐标系，设 ，)0,(A，则 ，化简得：)0,(aB)0()(22yax；1222ax所以：当 时，轨迹为直线 ；当 时，轨迹为
9、圆：1222)1()1(yx结论 2 到两定点距离的平方和为常数的动点的轨迹为圆或一个点；因为：化简得：)0()(2myax 42)(2amyax结论 3 到两定点距离的平方和为常数的动点的轨迹为直线；因为：化简得： y)(22 2到两定点距离的积（立方和、立方差）为常数的动点的轨迹，我们不知道是什么，但我们利用几何画板画出了轨迹.到两定点距离的积（立方和、立方差）为常数的动点的轨迹分别如下图：图 1 图 24教师：对该小组的探索及陈述人的精彩表演表示祝贺！陈述人 2：首先，我们发现圆锥曲线的统一定义有问题！当定点 F 在定直线 l 上时，与到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比为常数 的动
10、点的轨迹为：e当 时， 不存在轨迹；10e当 时，轨迹为过点 F 且垂直 l 的直线；当 时，如图 4，轨迹为过点 F 且与直线 l 夹角为 的二条直线. e1arcsin其次本小组探索以下轨迹问题：与到一个定点的距离和到一条定直线距离的和（差、积、平方和、平方差等）为常数的动点的轨迹.有下列结论：结论 1 与到一个定点的距离和到一条定直线距离的和为常数的点的轨迹为二条抛物线段；如图 5，动点 M 到点 A 距离与动点 M 到直线 l 的距离的和为 ，作直线 l1、l 2 与直m图 3FM图 45线 l 距离为 ，则动点 M 到点 A 的距离分别与动点 M 到直线 l1、l 2 的距离相等，动
11、点mM 又分别在两平行直线 l1、l 之间和 l2、l 之间，所以轨迹为二条抛物线段；结论 2 与到一个定点的距离和到一条定直线距离的和为常数的点的轨迹为一条抛物线或一条抛物线与一条射线或四条抛物线段；分析：设定点 A 到定直线 l 的距离为 ，动点 M 到定直线 l 的距离为 ，设nd，作两直线 l1、l 2 与直线 l 距离为| |；mdA| m当 时，如图 6，则在 A 在 l1、l 2 之间，当动点 M 在直线 l 的右侧时，|MA|等n于点 M 到直线 l2 的距离，所以点 M 的轨迹为以 A 为焦点直线 l2 的抛物线且在 l 右侧部分，同理，动点 M 在直线 l 的左侧时，点 M
12、 的轨迹为以 A 为焦点直线 l2 的抛物线且在 l 左侧部分；当 时，如图 7，则在 A 在 l1 上，当动点 M 在直线 l 的右侧时，|MA| 等于点M 到直线 l2 的距离，所以点 M 的轨迹为以 A 为焦点直线 l2 的抛物线，当动点 M 在直线l 的左侧时，点 M 的轨迹为过 A 垂直直线 l 的直线 a 在 l 左侧部分；当 时，如图 8，则在 A 在 l1 的右侧，当动点 M 在直线 l 的右侧时，nm0|MA|等于点 M 到直线 l2 的距离，所以点 M 的轨迹为以 A 为焦点直线 l2 的抛物线，动点M 在直线 l 的左侧时， ，不可能有 ；md| md|当 时，为抛物线的
13、定义，是一条抛物线.当 时，如图 9，则 A 在 l1 的右侧，当动点 M 在直线 l 的右侧时，|MA|0n等于点 M 到直线 l2 的距离，所以点 M 的轨迹为以 A 为焦点直线 l2 的抛物线，动点 M 在直线 l 的左侧时， ，不可能有 ；dA| d|当 时，如图 9，则 A 在 l1 上，当动点 M 在直线 l 的右侧时，|MA| 等于点mM 到直线 l2 的距离，所以点 M 的轨迹为过 A 垂直直线 l 的直线 a 在点 A 右侧部分，动点M 在直线 l 的左侧时， ，不可能有 ；m| m|当 时， ，不可能有 .nAl l1l2MM图 6Al l1l2M图 86结论 3 与到一个
14、定点的距离和到一条定直线距离的平方和为常数的点的轨迹为一个椭圆或一个点.分析：以定直线l 为 Y 轴，以过 A 垂直直线 l 的直线为 X轴建立坐标系，设，则)0,(aA mxyax22)(化简得： 22amyx当 时，轨迹为一个点；当 时，轨迹为一个椭圆.2a结论 4 与到一个定点的距离和到一条定直线距离的平方差为常数的点的轨迹为一条抛物线.分析： 化简得：mxyax22)( 22axy教师：也对该小组的探索及陈述人的精彩表演表示祝贺！教师：由于时间关系，在课堂是不能对各小组都作一一交流，我也知道有些小组探索出一些新的曲线，不能在此交流真的非常遗憾，我希望大家把这些探索出东西整理出来，写成数学日记或数学小论文.4 后记由启问到探索，各阶段各层次的学生均可想、可做，以及结果的不确定性，极大地激发了学生的探索欲望.整个交流过程涉及整个解析几何内容和思想方法，但一直到最后，教者并没有进行“事后诸葛亮”式的总结和点评，而是通过学生的参与，让其亲历问题的发现和思想方法的重建过程.All1l2MM图 5Al l1l2MM图 7aAl l1l2M图 9Al l1l2M图10a
