应用LINGO、MATLAB软件求解线性规划

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1、,1.5 应用LINGO、MATLAB软件求解线性规划,1.5.1 应用LINGO软件求解线性规划,一、LINGO使用简介 LINGO软件是美国的LINDO系统公司(Lindo System Inc)开发的一套用于求解最优化问题的软件包。LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外,还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程(组)的求解等。LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数,而且执行速度快。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言,可以简便地表达大规模问题,利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果,这里简单介绍LINGO的使用方法。 LINGO可以求解线性

2、规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等。,一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分,每一部分有其独特的作用和语法规则,读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解,这里就不展开介绍了。,LINGO的主要功能特色为:既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规划问题的能力;输入模型简练直观;运算速度快、计算能力强;内置建模语言,提供几十个内部函数,从而能以较少语句,较直观的方式描述大规模的优化模型;将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转换为LINGO模型;并且能方便地与Exce

3、l、数据库等其他软件交换数据。,LINGO的语法规定:(1)求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=或MIN=来表示;(2)每个语句必须以分号“;”结束,每行可以有许多语句,语句可以跨行;(3)变量名称必须以字母(AZ)开头,由字母、数字(09)和下划线所组成,长度不超过32个字符,不区分大小写;(4)可以给语句加上标号,例如OBJMAX=200*X1+300*X2;(5)以惊叹号“!”开头,以分号“;”结束的语句是注释语句;(6)如果对变量的取值范围没有作特殊说明,则默认所有决策变量都非负;(7)LINGO模型以语句“MODEL:”开头,以“END”结束,对于比较简单的模型,这两个语句可以省

4、略。,在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型:model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2=8;4*x1=16;4*x260;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x53;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x58;X1+x2+x3+x4+x552;,例1.5.2 用LINGO求解例1.1.3食谱问题。解 例1.1.3食谱问题的数学模型为(1.1.6),求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 22.40000Var

5、iable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333,因此,每周每个动物的配料为饲料A2、A4、A5分别为12、30和10,合计为52,可

6、使得饲养成本达到最小,最小成本为22.4元;不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了,没有竞争力。“Reduced Cost”分别等于0.7和0.617,说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时,不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低。从“Slack or Surplus”可以看出,蛋白质和维生素刚达到最低标准,矿物质超过最低标准4.1;从“Dual Price”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元,降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元,但降低矿物质的标准不会降低饲养成本,如果动物的进食量减少,就必须选取精一些的饲料但要增加成本,大约进食量

7、降低1可使得饲养成本增加0.88元。,(1.5.1),1.5.2 应用MATLAB求解线性规划,MATLAB(MATrix LABoratory)的基本含义是矩阵实验室,它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的集数值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学工具软件。它是建立在向量、数组和矩阵基础之上的,除了基本的数值计算、数据处理、图形显示等功能之外,还包含功能强大的多个“工具箱”,如优化工具箱(optimization toolbox)、统计工具箱、样条函数工具箱和数据拟合工具箱等都是优化计算的有力工具。在这里仅介绍用MATLAB6.5优化工具箱求解线性规划问题。 一般线性

8、规划问题的数学模型为,其中C是目标函数的系数行向量(常数), X 是n维列向量(决策变量),A, A1是常数矩阵,b,b1是常数向量,lb,ub是n维列向量分别表示决策变量X的下界与上界。 在Matlab优化工具箱(Optimization Toolbox)中,求解(1.5.1)的程序如下:x,fval,exitflag,output,lambda = linprog (c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)说明:(1)A是不等式约束的系数矩阵,b是相应的常数列向量,若没有不等式约束,则均用 代替; (2) Aeq是等式约束的系数矩阵,beq是相应的常数列向量,若没有等

9、式约束,则均用代替;(3)如果某个变量无下界,则用-inf表示;如果某个变量无上界,则用inf表示,若决策变量 无下界,则lb用代替;若决策变量 无上界,则ub用代替; (4) x0是线性规划的初始解,这种设计仅对中规模算法有效,通常可以缺省。,(5) 输出 是最优解,fval是最优值。 (6) 输出exitflag描述了程序的运行情况,若其值大于零,表示程序收敛到最优解 ;若其值等于零,表示计算达到了最大次数;若其值小于零,表示问题无可行解,或程序运行失败。 (7)输出output表示程序运行的某些信息,如迭代次数(iterations)、所用算法(algorithm)、共轭梯度(cgite

10、rations)等。 (8)lambda表示解处的拉格朗日乘子,其中lower,upper,ineqlin,eqlin分别对应于下界、上界、不等式约束与等式约束。,解 Matlab程序如下:c=-2,-1,1;A=1,4,-1;2,-2,1;b=4;12;Aeq=1,1,2;beq=6;lb=0,0,-inf;ub=inf,inf,5;x,z=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)运行后得到输出Optimization terminated successfully.x= 4.6667 0.0000 0.6667z= -8.6667,例1.5.4 用MATLAB求解线性规划问题,(1.5.3),解 首先转化为求最小值问题,Matlab程序如下c=-2,-3,5;A=-2,5,-1;b=-10;Aeq=1,1,1;beq=7;lb=0,0,0;x,z=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb),运行后得到输出x = 6.4286 0.5714 0.0000z = -14.5714键入 s=-z 运行后得到原问题的目标函数最大值 s=14.5714,

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