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1、8642246815105 510152016 年宁波市五校联考数学试卷数学（理科）试题参考答案一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个)1某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的个数为( D )A1 B2 C3 D4 2已知函数 ，则( B ) 1()0x为 有 理 数为 无 理 数A ， 是 的一个周期；Dx)B ， 是 的一个周期；()1(xC ， 是 的一个周期；0x)DD ， 的最小正周期不存在()(x3已知 为单位向量， ，则 在 的投影为( C ),abr|2|abrrarbA B C D
2、16363234 已知函数 ，数列 的通项公式是 ， ，那么“函数()yfxna()nafN在 上单调递增”是“ 数列是递增数列的( A )()yfx1,nA充分不必要条件； B必要不充分条件；C充要条件； D既不充分也不必要条件5设整数 满足约束条件， 则 23xy取值范围是（C）,xy0854xyA 2,6 B 3,1 C D 3,10,解：，可行域内的整数点如图所示，目标函xyyx侧视图（第 1 题图）正视图22 1俯视图书图书室图书室图1 1数在点 处取到最小值 ，在点 处取到最大值 ，所以选 C(2,3)13(,7)86.已知双曲线 的左焦点为 F1，左、右顶点分别为 A1、A 2，
3、P 为双曲)0,(12bayx线上任意一点，则分别以线段 PF1，A 1A2 为直径的两个圆的位置关系为（ ）来源:学+ 科+网 Z+X+X+KA相交 B相切 C相离 D以上情况都有可能7如图，过 抛物线上一点 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线2:8Cyx(2,4)P相交于 、 两点，则直线 的斜率是（ B ）ABAA B C D13解：选 B，设 ， 代12(,)(,)xy:(2)4ykx入 得：24y于是830kk1364yk得 ，同理164y22121128ABykxy8如图，在棱长为 2 的正四面体 中，平面 与棱 、 、 、 分别ABCDABDCB相交于点 、 、 、 ，则四边形
4、 的周长的最小值是( ) EFGHEFG 图8ABCDEFGH864224615105 51015图14D1 C1CB1BDA1APA1 B 2 C3 D4解：选 D， 如图所示，周长最小，等于 4 二、填空题：(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)9设全集 ，则2 2|340,|,|3UxRxAxyBxyAB()UCBI|13x|2x10已知数列 中， ，则数列 的第 2 项是 n10,21log()nnxnx所有项和 T3，13 解: ，共有 3 项，所有项和为 131230,xx11已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为 ，且经过点 ，则
5、2(2,1)P该双曲线的标准方程是 ；渐近线方程是 23xy0xy12函数 在 内的一条对称轴方程是 ，2()cos()13fx0,在 内单调递增区间是 0,2()cs()cos(2)6fxxx一条对称轴方程可以是 或 中的一条，递增区间51251,213已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，()4xmfx()gxf则实数 的取值范围是 m1,2)14已知点 是正方体 表面上一动点，且满足P1ABCD |，设 与平面 所成的角为 ，则 的最大值1DCOGAHFEB是 解: ，如图，建立坐标系，设正方体的棱长为 ，则42的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的球面与正方体的PQ43交线，即如图所示的圆
6、弧 ， ， ，要使EMGPFN与平面 所成的最大，只要 圆弧 上，且1DABCE在 上， 的最小值为0423QP从而 的最大值为 ， 的最大值为 tan1415正三棱锥 的各棱长均为 ，若 ，且OABC1(0,1)OPxAyBzOxyzurur满足 ，则动点 的轨迹所围成的区域的体积是 12xyz解：动点 的轨迹所围成的区域是介于平面 与平面 之PCEF间的部分， 1sin6023324AOBAVOBhSo三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16、 （本题满分 14 分）在 中， 为边 上一点， ，已知 ，ABCDABDC4B1C(1) 若
7、，求角 的大小；63(2) 若 的面积为 ，求边 的长1解:( 1）在 中，由正弦定理得BCD ,sinsiin4BCDA则 ，则 ，613sinsi4B3si2B所以 或 ，3BDC23 5 分又 ，所以 或 A6A 7 分(2) 由已知得 ，即 得， 1BCDS 1sin26Bg23BD 9 分又由余弦定理得 得 ，22cosCg53 12 分又 ，所以 DAC2BADB 14 分17（本题满分 15 分）在等腰梯形 中， ， ， 是 的中点，将/AB1260ABCoNB绕 旋转 ，得到梯形CD90oD(1)求证 平面 ；/N(2)求二面角 的余弦值（1）证明 平面/,/BACQA同理 平
8、面C又 I平面 平面/D平面NB平面 A 6 分（2）在等腰梯形 中， ， ， ， 是 的中点，C/B12ADC0BoNBC得 AB又平面 平面 且 ， 平面DA于是 ， ， 8 分8642246815105 51015如图建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ，1AB(0,)(1,0)B(,30)C， ，(0,3)C1(,0)2N于是 ， ；,Bur(,3)Cur设平面 的法向量为 ，则 即 ,nxyz0nBCrug取 ， ， ，所以 ，30xzy1z31(3,1)r 10 分因为 平面 ，平面 平面 ，又易知四边形 是菱形，所以ACBCANBABND，平面 平面 ， 平面 ，设 ，则BDNID
9、C OI交点 为 的中点，所以平面 的法向量为 ，O 3(,0)4Our 12 分所以 ，由图知二面角 为钝角，所以二面角5cos,|nBOrurgACN的余弦为 ACN5 15 分18(本题满分 15 分）已知函数 ， 2)()xfa(1)若 ，试确定 在 上单调性；并给出证明1af(0,1(2)当 时，问是否存在一个常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在实,()xc数 G，使得当 时，有 |()|fx解：任取 12,(0,)x12121212212()()()()()xaxxffaa 2 分因为 ， ，所以1a2,(0,1)x2 121121122() ()0axxx1fxf函数在 上单调递增(0,) 7 分(2)存在常数 ，1c 9 分2222(1)|()|()()xxf
