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1、 关于采购煤的数学模型问题重述：某单位采购员在秋季要决定冬季取暖用煤的贮量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗 15 吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗 10 吨和 20 吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为 10 元，15 元和 20 元，又设秋季时煤价为每吨 10 元，若贮煤多于实际用量，多出的部分每吨需要 1 元的贮存费。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，采购员要确定秋季贮煤多少吨总的支出最少。1.试对该问题建立矩阵对策模型。2.该对策模型在纯策略意义下是否有解？如果无解请写出求解最优混合策略的线性规划模型公式并用 Ling
2、o 求解。问题分析及模型假设：该问题我们可以认为是一个博弈问题，博弈双方为采购员和气候，即采购员和气候为局中人，由于采购员要使自己的总支出最小，而气候我们可以认为它的目的是使采购员的总支出最大。由题意只采购员储煤量在 1020 吨之间，考虑采购员如果少储存一吨需要多支出 5 元或者 10 元，而多出一吨储存仅需支出 1 元储藏费，所以采购员采取的合理决策行动有三个：储煤 10 吨、储煤 15吨、储煤 20 吨；气候的决策行动也有三个即：气候较暖、气候正常、气候较冷博弈双方的决策行动极其产生的结果可以清晰地用表 1 描述（采购员的总支出） 。表 1 采购员与气候的博弈及其产生的结果气候采购员 较
3、暖 正常 较冷储煤 10 吨 支出 100 元 支出 175 元 支出 300 元储煤 15 吨 支出 155 元 支出 150 元 支出 250 元储煤 20 吨 支出 210 元 支出 205 元 支出 200 元模型建立：由以上分析我们可以得到采购者的决策集 S1=q1,q2,q3,q1、q2、q3 分别表示储煤 10 吨、储煤 15 吨、储煤 20 吨，气候的决策集 S2=w1,w2,w3,w1、w2、w3 分别表示天气较暖、正常、较冷，则采购者的赢得矩阵为：20-5210-37A因：v 1=max min aij=-210， i*=3；v 2=min max aij=-200，j*=
4、3i j j i所以 v1 v2, 即在纯策略意义下矩阵对策 G=S1 ， S2；A 不存在解。我们建立混合意义下的模型，有：采购者的混合策略集为： S1*=x=(x1,x2,x3)| 31,0ix气候的混合策略集为：S2*=y=(y1,y2,y3)| 31,0iy则采购者的赢得函数为：E(x,y)=xAyT = xajiij31采购者希望获得最大期望效用，因而所面临的决策问题是：max xAyT (x S1*),(yxE模型求解：由于双方都希望优化自己的赢得，所以采购者面临的决策问题可以转化为： max min xA =VM （1）其中 min 是对 xA 中所有的元素取极小。类似的，气候的
5、所面对的决策问题可转化为：min max AyT =VN （2）由于要达到纳什均衡所以有：VM = VN =V，则 V 即为对策 G=S1 ， S2；A在混合意义下的最优值则转化为线性规划问题有：V, j=1,2,3 ； （3）31ijiax 31,0ix将（3）转化为标准的线性规划形式，不妨假设 V0， （考虑到 A 的值都为负值所以我们将 A 的每一元素都加上 300，则将 V 最终变为正值且求得的值比实际值大 300 记为 V）在（3）中令 Xi=xi/V,则（3）变为：1, j=1,2,3 ； /V （3）1ijiaX 31i,0iXx由于 V 是采购员可能的最小赢得中最大的那个，所以
6、我们的问题是求解 在 Xi 未知的情况下求解其最大值。31i对此我们可以建立起线性规划模型（4）：V=1/zmin z=X1+X2+X3200*X1+145*X2+90*X31125*X1+150*X2+95*X31 （4）0*X1+50*X2+100*X31X1、X2、X30 同理对于气候方，我们也可建立线性规划模型V“=1/max =Y1+Y2+Y3200*Y1+125*Y2+0*Y31145*Y1+150*Y2+50*Y31 （5）90*Y1+95*Y2+100*Y31Y1、Y2、Y30软件实现：利用 lingo 软件求解（4）其结果如下：由上可得 min z =0.0105，X1=0.
7、0005，X2=0，X3=0.01，故 V=1/z=95.24，所以 V= V-300=-204.76, S1*=0.0005/0.0105，0/0.0105，0.01/0.0105=1/21，0，20/21;由上可得 max=0.0105，X1=0.0005，X2=0，X3=0.01，故V“=1/=95.24，所以 V= V“-300=-204.76, S2*=0.005/0.0105，0/0.0105，0.01/0.0055=10/21，0，11/21;综上所述：对策 G=S1 ， S2；A在混合策略意义下的解为 V=-204.76。由于采购者的混合策略集为：S 1*=1/21，0，20/
8、21;所以按最大概率选取应该采取策略 q3,即储煤 20 吨。摘要：在市场经济的今天，必须正确看待收入分配中的公平与效率的问题。效率原则是生产力的一个基本原则，而公平原则是调节社会分配关系，即人与人之间利益关系的一个基本原则。正如本文中雇员与雇主的矛盾关系：雇主总是希望以较少的工资换取较多的劳动，而雇员总是希望以较少的劳动换取较多的工资。按照经济学原理，双方将会按照“等价交换”的原则达成某种协议，实现双赢的局面。为表示等价交换，特引入“无差别曲线”（图 4），并且我们可以想象，本问题中的“ 无差别曲线” 应是单调递增的，下凸的，且互不相交，这样双方满意的“交换路径 ”应在两族曲线切点的连线上，
9、再根据等价交换作图，即可确定双方的工作时间工资协议。当工作时间改变时，沿着平衡曲线滑动（图 6），即可得到新的利益平衡点。对比横纵坐标变化率，即可确定对雇主更有利的方案（图 7）。关键词：等价交换 无差别曲线 交换路径一、 问题的重述为了得到更多的剩余价值，雇主总是希望支付较少的工资，而得到更多的劳动力价值，雇员却希望以较少的劳动换取更多的报酬。最终，双方将按照“等价交换” 的原则，达成一项双方都比较满意的协议。鉴于此题，我们需要分别作图表示雇员一天工作时间 t 与工资 w 的无差别曲线和不同工资率下雇主的计时工资线，并根据这两个曲线族，讨论双方满意的劳动工资“交换路径”。在达成一项协议后，我
10、们还应分析工作时间增加后，找到新的利益平衡点，并作图指出提高计时工资率和实行超时工作制，那一种对雇主更有利。二、 问题假设与符号说明假设：1、雇员在工作时间内完成有效劳动；2、雇员和雇主之间实行“按劳分配”，即“等量劳动领取等量报酬 ”。三、 问题分析与解答（1） 我们以雇员一天的工作时间 t 和工资 w 分别为横、纵坐标，画出雇员的无差别曲线族如下图 4： 对上图的解释：工作时间越长，则雇员的工资应越高，故曲线是递增的，而雇员总是希望工资的增长率大于工作时间的增长率，这样就使得曲线为下凸的。（2） 假设雇主付计时工资，对不同的工资率，可画出计时工资线如下图 5：对上图的解释：当雇员不工作时，
11、雇主不会愿意为其支付工资，故曲线过原点；在相同的时间内，工资率大的曲线纵坐标值也大，但达到一定程度后（称为曲线的膝点），雇主不会再增加工资（此时相当于承包工作制，图中未标示）。将两条曲线画在一张坐标纸上（如下图 6），用平滑的曲线连接两族曲线的切点，成为曲线 PQ,则双方的折中协议必为 PQ 上的一点，根据等价交换准则及雇主工作要求（不同的工作率），可以确定最终协议为 P1（P2 ）点。（3） 假设雇员与雇主已经达成一个协议（t1，w1 ）, 雇主想增加工作时间，那么实行超时工作制对雇主更有利： 假设新的协议为（t2,w2）,则从图中可以看出(w2-w1)/w1 远大于(t2-t1)/t1,即
12、若实行提高计时工资率的方法，需要支付 w2 的工资，而实行超时工作制，只需支付 w2的工资，显然，只要超时部分（t2 t1）的曲线斜率（即工资）率小于 PQ 的在此处的斜率，那么实行超时工作制就能够节省 w2-w2的工资，显然对雇主是有利的。四、 模型评价模型评价：优点：（1）援引恰当，分析切合经济学原理（2） 结果作图表示，直观简明缺点：（1）真正的 “等价交换”难以实现，“无差别曲线”也并非无差别。（2 ）模型理想化，导致结果与实际情况略有出入。根据此题中某些结论，人们可以更加合理的安排工作时间，取得最佳工作效果，同时获得最满意的薪水。“无差别曲线”不仅可以用来表示抽象物品交换（如本问题中劳动力与工资），在现实生活中更是发挥着重要作用，时刻指导并规范着我们在生产、消费、投资等经济生活中的行为。
