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1、专题 5物系相关速度文/沈晨国内、外中学物理竞赛中多见求解物系相关速度，或解题的“瓶颈”卡在物系相关速度的试题，这类问题往往叙述简洁而条件隐蔽，情景相像而方法各异，使参赛者思路混沌，无从入手例如： 类型 1 质量分别为 1、 2和 3的三个质点、位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳和连接， 为锐角，如图-所示今有一冲量沿方向作用于质点，求质点开始运动时的速度（全国中学物理竞赛试题） 图 5-1 图 5- 类型 2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为，放在与水平面成 角的光滑斜面上，如图-所示当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为 （此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴的速度、圆筒
2、与斜面切点的速度（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题） 类型 3 直线以大小为 1的速度沿垂直于 AB 的方向向上移动，而直线 CD 以大小为 2的速度沿垂直于的方向向左上方移动，两条直线交角为 ，如图 5-所示求它们的交点的速度大小与方向（全国中学生力学竞赛试题） 图 5- 图 5- 以上三例展示了三类物系相关速度问题类型 1 求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型 2 求接触物系接触点速度；类型 3 则是求相交物系交叉点速度三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循 首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是
3、刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的如图 5-所示，三角板从位置移动到位置，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点移到点，另一方面又以点为轴转动，使点到达点、点到达点由于前述刚体的力学性质所致，点、及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变这里，我们称点为基点分析刚体的运动时，基点可以任意选择于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和我们知道转动速度，是转
4、动半径， 是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关 根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）因此，我们可以得到下面的结论 结论 1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度 我们再来研究接触物系接触点速度的特征由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制至于沿接触面的切向接
5、触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度因此，我们可以得到下面的结论 结论 2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同 相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线、，如图 5-所示，设直线不动，当直线沿自身方向移动时，交点并不移动，而当直线沿直线的方向移动时，交点便沿直线移动，因交点亦是直线上一点，故与直线具有相同的沿直线方向的平移速度同理，若直线固定，直线移动，交点的移动速度与直线沿直线方向平动的速度相同根据运动合成原理，当两直线、各自运动，交点的运动分别
6、是两直线沿对方直线方向运动的合运动于是我们可以得到下面的结论 图 5- 结论 3 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和 这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法 下面我们对每一类问题各给出 3 道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用 例 1 如图 5-所示，杆的端以速度做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为，当杆与水平线的交角为 时，求杆的角速度 及杆上与半圆相切点的速度 图 5-6 分析与解 考察切点的情
7、况由于半圆静止，杆上点速度的法向分量为零，故点速度必沿杆的方向以点为基点，将杆上点速度分解成沿杆方向分量 1和垂直于杆方向分量 2（如图 5-所示），则 1是点与点相同的沿杆方向平动速度， 2是点对点的转动速度，故可求得点的速度为 图 5-7 1，又 2由题给几何关系知，点对点的转动半径为 ，代入前式中即可解得 ( 2)/() 例 2 如图 5-8 所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为 321，顶点 3以速度沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点 2的速度 B2 图 5-8 分析与解 顶点 2作为 2 1杆上的一点，其速度是沿 2 1杆方向的速度 1及垂直于 2 1杆方向速度
8、 1的合成；同时作为杆 2 2上的一点，其速度又是沿 2 2杆方向的速度 2及垂直于 2 2杆方向的速度 2的合成由于两杆互成直角的特定条件，由图5-显见， 2 1， 1 2故顶点 2的速度可通过 1、 2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得 图 5-9 1( /) 1； 2( /) 2，于是可得 由几何关系可知 1 2 3 0 1 0 2 0 3，则 1 /， 2 (/)，由此求得 B2( /) 图 5-10 上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点 2的速度的当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析如图 5-所示，若以 1、 2点为基点，则 2点作为 2 1杆上
9、的点，其速度是与 1点相同的平动速度 1和对 1点的转动速度 1之合成，同时 2点作为 2 2杆上的点，其速度是与 2点相同的平动速度 2和对 2点的转动速度 2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得 而由矢量图可知 n 1( /)（ A2 A1），代入前式可得 B2( /) 两解殊途同归 例 3 如图 5-11 所示，物体置于水平面上，物体上固定有动滑轮,为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮、后固定在点，段水平当以速度拉绳头时，物体沿水平面运动，若绳与水平面夹角为 ，物体运动的速度是多大? 图 5-11 分析与解 首先根据绳约束特点，任何时刻绳段上各点有与绳端相同的沿绳段方向的分速
10、度，再看绳的这个速度与物体移动速度的关系：设物体右移速度为 x，则相对于物体(或动滑轮 B 的轴心)，绳上点的速度为 x，即 BA x，方向沿绳 BD 方向；而根据运动合成法则，在沿绳 BD 方向上，绳上 B 点速度是相对于参照系(或动滑轮 B 的轴心)的速度 x与参照系对静止参照系速度 x 的合成，即 BA x；由上述两方面可得 x/() 例 4 如图 5-所示，半径为的半圆凸轮以等速 沿水平面向右运动，带动从动杆沿竖直方向上升，为凸轮圆心，为其顶点求当 时，杆的速度 图 5-12 图 5-13 分析与解 这是接触物系相关速度问题由题可知，杆与凸轮在点接触，杆上点速度 是竖直向上的，轮上点的
11、速度 0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图 5-13 所示，即 0，则 0故杆的速度为 0 例 5 如图 5-14 所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子上，以恒定的速度拉绳，当绳与竖直方向成 角时，求线轴中心的运动速度 O设线轴的外径为，内径为，线轴沿水平面做无滑动的滚动 分析与解 当线轴以恒定的速度 v 拉绳时，线轴沿顺时针方向运动从绳端速度到轴心速度 O，是通过绳、轴相切接触相关的考察切点的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上点与轴上点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度图 5-是轴上点与绳上点速度矢量图：轴上点具有
12、与轴心相同的平动速度 O及对轴心的转动速度（ 为轴的角速度），那么沿切向轴上点的速度为 Osin；而绳上点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度，于是有关系式，即 图 5-14 图 5-15 O又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点的速度为零，则轴心速度为 O，由、两式可解得 O()/() 若绳拉线轴使线轴逆时针转动， O()/()，请读者自行证明 例 6 如图 5-所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端点速度为，方向水平以铰链固定于点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为和试确定木板的角速度 与角 的关系 图 5-16 图 5-17 分析与解 设木板与线轴相切于点，则板上点与线
13、轴上点有相同的法向速度 n，而板上点的这个法向速度正是点关于轴的转动速度，如图-17 所示，即 n(/) 现在再来考察线轴上点的速度：它应是点对轴心的转动速度 n和与轴心相同的平动速度 O的矢量和，而 n是沿点切向的，则点法向速度 n应是 n O 又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有 /() O/将、两式代入式中，得 ()/() 例 7 如图 5-18 所示，水平直杆在圆心为、半径为的固定圆圈上以匀速竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环的速度，设与竖直方向的夹角为 图 5-18 分析与解 当小环从圆圈顶点滑过圆心角为 的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度沿杆方向与圆圈切线方向分解，则的速度为 / 例 8 如图 5-所示，直角曲杆绕轴在如图 5-19 所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆滑动已知10，曲杆的角速度.，求 时，
