总量函数与精确指数的关系研究

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1、总 量 函 数 与 精 确 指 数 的 关 系 研 究柏 满 迎 任 若 恩A B ST RA C TSom e co n cep t s w e re in t ro du ced in th e re sea rch o n eco nom ic th eo ry o f in d ice s, a summ a ry o f th e th eo re t ica l re sea rch w a s m ade o n th e re la t io n b e tw een lin ea r qu an2 t ic p ro du c t io n fu n c t io n s,

2、co st fu n c t io n s an d in d ice s, ach ievem en t w a s m ade in th eca se o f no n 2lin ea r qu an t ic p ro du c t io n.一 、 问 题 的 提 出指 数 是 一 个 古 老 且 为 大 家 熟 悉 的 经 济 分 析 方 法 。 在复杂经济系统中, 对于不 同 商 品 的 总 体, 在 数 量 上 往 往 是 不 能 直 接 加 总 的, 要 综 合 测 定 其 变 动 程 度, 只有通过引进一个同度量因素 , 使 之 过 渡 到 可 以 直 接 加 总 的 综

3、合 指 标 , 而 后 进 行 不 同 区 域 间 或 不 同 时期的对比, 来测定其综合变动 , 指 数 方 法 就 是 在 这 种背景下产生的 。指数的基本特点是它的综合 性 和 平 均 性 。 综 合 性是指它综合地反映了复杂现象总体 的 数 量 变 化 关 系 。 指数的平均性是指 , 指数反映的是现象总体中各 个单位变动的平均水平 。指数通常以相对数或比率的 形 式 来 表 示 。 人 们 使 用 指 数 就 是 出 于 比 较 的 目 的, 以 表 明 现 象 总 体 的 发展方向呈上升趋势还是下降趋 势 。 由 于 指 数 本 质 上 就 是 现 象 总 体 所 含 商 品 的

4、价 格 和 数 量 的 平 均 值 , 因此, 人们所使用的指数公式可有许多不同形式 。 一 个平均值可以是算术的 、 几何的或 调 和 的 , 可 以 是 未 加 权 的 或 加 权 的 , 而 权 重 可 以 用 基 期 的 或 现 期 的 等 等 。 这就存在对指数公式的选择问 题 。 在讨论指数的 性质时 , 可以从两个不同的角度出 发 。 一个是统计学 方法, 由一些公理出发 , 比较不同 指 数 公 式 统 计 性 质 的优劣 。 另一个是经济学方法, 认为指数与所涉及的 经 济 背 景 密 切 相 关 , 需 要 从 经 济 理 论 的 角 度 加 以 研究 。 虽然在国际上对指

5、数的经济理论研究已成体系 ,但国内研究所见甚少 。 本文不打算 全 面 介 绍 指 数 的 经济理论 , 仅就指数与生产函数 ( 或 效 用 函 数 )、 成 本 函数之间的对应关系加以探讨 。二 、 概 念 与 定 义在 实 际 工 作 中, 统 计 学 家 和 经 济 计 量 学 家 们 所 遇 到 的 最 头 痛 的 问 题 之 一 就 是 对 于 给 定 的 函 数 形 式, 应该怎样选择恰当的指数公式问题 。 这个问题也 许 太 复 杂 了 , 但 是 , 对 于 一 些 生 产 函 数 和 成 本 函 数 , 却有些满意的结果 。我们把第 0 期和第 1 期之间 的 数 量 指 数

6、 和 价 格 指 数 分 别 定 义 为 Q (p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) 和 P (p 0 , p 1 , x 0 ,x 1 )。 其中 p i 0N , x i 0N ( i= 0, 1) , 0N R N 分别是第 i 期的价格和数量 。 那么, 数量指数或价格指数可 以 看作是这两期的价格和数量的函数 。 如果他们满足P (p 0 , p 1, x 0 , x 1)Q (p 0 , p 1, x 0, x 1) = p 1 r x 1 p 0 r x 0 (1) 则 称 该 数 量 指 数 和 价 格 指 数 满 足 F ish e r 弱 要 素 反 向 检 验

7、(F ish e r s w eak fac to r reve r sa l te st ) , 也 就 是 说, 数 量 指 数 和 价 格 指 数 的 乘 积 等 于 两 期 的 支 出 的 比 率 。 F ish e r 弱要素反向检验是 F ish e r 针对指数问 题 提 出 的 六 项 模 拟 检 验 (A na lo gue T e st s) 之 一, 如 果该项检验成立 , 则指数公式被定 义 为 无 偏 的 , 否 则 定 义 为 有 偏 的 (H an sen 和 L uca s, 1980; E ich ho rn 和 V o e lle r, 1990)。 无 偏

8、 的 指 数 公 式 是 一 种 近 似 理 想NN N( idea l) 的 指 数 公 式, 也 正 是 我 们 需 要 的 指 数 公 式(D iew e r t, 1976, 1978)。 在 经 济 研 究 中, 出 现 过 种 种 指数形式 , 比较常用的著名指数有 :( 1) L a sp ey re s 价 格 指 数 和 数 量 指 数, 是 以 基 期 定义的指数 :NP L (p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) = 2 (p 0x 0 p 0 x 0 ) (p 1 p 0 =显 然, 如 果 价 格 指 数 P 和 数 量 指 数 Q 是 精 确 的, 则 必

9、 有 P ( p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) Q ( p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) =c (p 1 ) f (x 1 ) (c (p 0 ) f (x 0 ) ) 成 立, 因 此 满 足 F ish e r 弱 要素反向检验 。 由于精确指数与 微 观 经 济 学 中 的 生产 者 理 论 及 消 费 者 理 论 密 切 相 关, 并 且 对 于 生 产 函数的位 似 ( hom o th e t ic) 变 换 具 有 不 变 性 , 因 此 具 有p 1 x 0 p 0 x 0i i i= 1Ni i )极其重要的理论意义和实际意义 。Q L (p 0

10、, p 1 , x 0 , x 1 ) = 2 (p 0x 0 p 0 x 0 ) (x 1 x 0 = 三 、 线 性 齐 次 生 产 函 数 、 成 本 函 数 与p 0 x 1 p 0 x 0i i i= 1 i i )指 数 的 一 致 性(2) P aa sch e 价格 指 数 和 数 量 指 数, 是 以 现 期 定 义的指数 :对于人们熟悉的 Co bb 2D o ug la s 生产函 数 , A f r i2NP P (p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) = 2 (p 0x 1 p 0 x 1 ) (p 1 p 0 =a t, Po llak , Sam ue

11、lso n 和 Sw am y70 年 代 曾 提 出 : 几Ni ii= 1 i i )何数量指数 7 (x 1 x 0 ) S i S i p 0x 0 p 0 x 0 对 于 该p 1 x 1 p 0 x 1 i= 1 , = i i rNQ P (p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) = 2 (p 1x 0 p 1 x 0 ) (x 1 x 0 = 函 数 是 精 确 的 。 除 了 精 确 指 数 这 一 概 念 外 , D iew e r tp 1 x 1 p 1 x 0i i i= 1 i i )还 提 出 了 所 谓 “最 好 的 指 数 ”( Sup e r la

12、t ive index num be r)。 这一概念 是 : 如果一个数量指数 Q 对 f 是( 3) F ish e r 价 格 指 数 和 数 量 指 数 是 前 面 两 种 指数的几何平均值 :P 2 (p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) = (p 1 x 0p 1 x 1 p 0 x 0p 0 x 1 ) 1 2Q 2 ( p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) = ( p 1 x 1p 0 x 1 p 1 x 0p 0 x 0 ) 1 2 (2) 可 以 注 意 到 : F ish e r 价 格 指 数 和 数 量 指 数 满 足 弱 要 素反向检验 。定 义

13、 11 设 函 数 y = f (x 1 , x 2 , , x N ) f (x ) , x= (x 1 , x 2 , , x N ) 是 正 的 、 齐 次 的 、 凹 的 生 产 函 数 , 其 中 x 为 投 入 向 量 , p = (p 1 , p 2 , , p N ) 为 对 应 的 价 格向 量 。 如果对每个 p 0 0N , p 1 0N , x 0 是生产最大化 问 题 m ax f (x ) : p 0 x p 0 x 0 , x 0N 的 解, 且 x 1x是 生 产 最 大 化 问 题 m ax f (x ) : p 1 x p 1 x 1 , x x精 确 的

14、, 并 且 f 能 够 对 任 何 一 个 二 次 可 微 的 线 性 齐 次 生 产 函 数 逼 近 至 二 次, 则 称 该 数 量 指 数 Q 是 最 好的 。 由此可见, f 的最好的指数存在的先决条件是能 够 对 二 次 可 微 的 线 形 齐 次 生 产 函 数 提 供 二 次 逼 近 。如 果 一 个 生 产 函 数 不 具 备 该 条 件, 则 它 不 可 能 有 最好的指数 。 由于逼近问题完全 是 纯 数 学 问 题, 因 此 , 我们在这里不打算进行探讨 。 下面 我 们 来 介 绍 超 越 对数 ( t ran slo g) 生产函数的指数问题 。 超越对数生产 函 数

15、 是 针 对 C E S 生 产 函 数 而 扩 展 的 一 类 生 产 函 数 (C h r isten sen, Jo rgen so n and L au , 1971, 1973)。 它在 经济增长研究和生产率研究领域内发 挥 着 十 分 重 要 的作用 , 因为这个生产函数比起以前的生 产 函 数 (C 2D , C E S 等等 ) , 只需要很少的约束条件 。 设 z 是一个N 维向量 , 令0N 的解, 有下式成立 :f (x 1 ) f (x 0 ) = Q (p 0 , p 1 , x 0 , x 1 ) (3)f ( z ) 0 + T z + 1 z TA z = 0 + 2 i z i + 12 j = 1 2则称数量指 数 Q 对 于 生 产 函 数 f 是 精 确 的 (ex2 2 2 i j z iz j (5)i 1= j = 1ac t ) ; 类 似 地 , 对 于 正 的 、 齐 次 的 、 凹 的 生 产 函 数 f 的 对 偶