《求由下列方程所确定的隐函数y的导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求由下列方程所确定的隐函数y的导数（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题 241 求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数 dx(1) y22x y90(2) x3y33axy0(3) xyexy (4) y1xey 解 (1)方程两边求导数得2y y2y2x y 0 于是 (yx)yy (2)方程两边求导数得3x23y2y2ay3axy0于是 (y2ax)yayx2 a(3)方程两边求导数得y x ye xy (1y)于是 (xe xy)ye xyy (4)方程两边求导数得ye yxeyy于是 (1xe y)ye y x12 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程 3232ay)42 ,(a解 方程两边求导数得031x于是 31y在点 处 y1 )42 ,(a所
2、求切线方程为即 )42(axayx2所求法线方程为 即 xy0 )42(axy3 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2dxy(1) x2y21(2) b2x2a2y2a2b2(3) ytan(xy)(4) y1xey 解 (1)方程两边求导数得2x2yy0y 3221)( yxyxy(2)方程两边求导数得2b2x2a2yy0y 32432222)( yabxyabyxabxab (3)方程两边求导数得ysec2(xy)(1y)222 1)(sinco1)(cosse1 yyxx 523(yy(4)方程两边求导数得ye y x e yyye 2)1(1 32)()(32yeyy4 用对
3、数求导法求下列函数的导数 (1) x)1(2) 52xy (3) 54)1(32xy(4) xesin解 (1)两边取对数得ln yx ln|x|x ln|1x|，两边求导得x 1)ln(1l于是 )(xy(2)两边取对数得)2ln(5|l1n两边求导得2xy于是 51512(3)两边取对数得)ln()3l(4)ln(xxy两边求导得15)2(1于是 34)(354 xxxy(4)两边取对数得1lnsil21nl e两边求导得)(4cotxxy于是 1cot21sin4)1(ct21sin xxxx eeee5 求下列参数方程所确定的函数的导数 dy(1) 2btyax(2) cos)in1(
4、解 (1) tabxdt23(2) cossin1xyd6 已知 求当 时 的值 .,te3dxy解 ttxydt cosincsin当 时 3t 23127 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1) 在 处 tyxcosin4(2) 在 t=2 处213ta解 (1) txydtcosin当 时 4t 24)i(0x0y所求切线方程为即 )2(xyyx所求法线方程为即 )(1014(2) 22)(636tatayt 22)1(3)(3tatxt 1xdt当 t2 时 342yax560y10所求切线方程为即 4x3y12a0 )(51a所求法线方程为即 3x4y6a0 )
5、6(432xy8 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2dxy (1) ;.12tyx(2) ;basinco(3) teyx23(4) 设 f (t)存在且不为零)(ft解 (1) txyd1 3221txydt(2) abtt cosin tabtbtx322sinsic)(3) tttexyd23 tttxeyd2943)(4) tft )( )(12tft9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 3dxy(1) 321tyx(2) arcn)l(解(1) ttdx21)(3)3(42tty)1(8)1(2533ttdx(2) ttty21)ln(arc2tdxy412)(2 3423
6、81)(ttdxy10 落在平静水面上的石头产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是 6m/s, 问在2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r对应圆面积为 S则 Sr2两边同时对 t 求导得S t2rr 当 t2 时r6212 r t6故 S t|t22126144 (米 2秒) 11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中其速率为 4m2/min 当水深为 5m 时其表面上升的速度为多少？解 水深为 h 时水面半径为 水面面积为 hr21241hS水的体积为 32431SV dttddtVh已知 h5(m)， (m 3/min)因此 (m/min)2516442t12 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中开始时漏斗中盛满了溶液已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时其表面下降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y圆柱形筒中水深为 h于是有hyr2253186由 得 代入上式得1yrry22)(即 h351863两边对 t 求导得yt22当 y12 时y t1 代入上式得(cm/min).64.025)(32th
