《1.中线定理（巴布斯定理）设三角形abc的边bc的中点为》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.中线定理（巴布斯定理）设三角形abc的边bc的中点为（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、智浪教育-普惠英才文库1.中线定理：( 巴布斯定理)设三角形 ABC 的边 BC 的中点为 P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形 ABCD 内接于圆，则有 ABCD+ADBC=AC 初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有 BPPCCQQAARRB=1 初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理 1：设ABC 的A 的外角平分线交边 CA 于Q、C 的平分线交边 AB 于 R，、B 的平分
2、线交边 CA 于 Q，则 P、Q 、R三点共线。 不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意ABC 的三个顶点 A、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点 P、Q 、R，则 P、Q、R 三点共线 不用掌握7.、塞瓦定理：设ABC 的三个顶点 A、B、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的三条直线，分别与边 BC、CA 、AB 或它们的延长线交于点 P、Q、R，则 BPPCCQQAARRB()=1. 初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E，又设 BE 和 CD 交
3、于 S，则 AS 一定过边 BC 的中心 M 不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：( 略) 初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理 1：三角形的三条中线交于一点 这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理 2：设ABC 的内切圆和边 BC、CA 、AB 分别相切于点 R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点。 不用掌握12.西摩松定理：从ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E、R 共线，(这条直线叫西摩松线) 初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：( 略
4、)初中竞赛的常用定理14.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 15.圆的外切四边形的两组对边的和相等 16.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 智浪教育-普惠英才文库17.推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 18.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 19.推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 20.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 21.推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条
5、割线与圆的交点的两条线段长的积相等 斯特瓦特定理有三角形 ABC，D 为角 A 平分线与 BC 边的交点，则有以下定理：AB（2）DCAC（2）BDAD（2）BC=BCBDDC 托 勒 密 定 理 ： 圆 内 接 四 边 形 中 ， 两 条 对 角 线 的 乘 积 (两 对 角 线 所 包 矩 形 的 面 积 )等 于 两组 对 边 乘 积 之 和 (一 组 对 边 所 包 矩 形 的 面 积 与 另 一 组 对 边 所 包 矩 形 的 面 积 之 和 ) 已 知： 圆 内 接 四 边 形 ABCD， 求 证 ： ACBD ABCD ADBC 证 明 ： 如 图 1， 过 C 作 CP 交 B
6、D 于 P， 使 1= 2， 又 3= 4， ACD BCP 得 AC： BC=AD： BP， ACBP=ADBC 。 又 ACB= DCP， 5= 6， ACB DCP 得 AC： CD=AB： DP， ACDP=ABCD 。 得 AC(BP DP)=ABCD ADBC 即 ACBD=ABCD ADBC 梅 涅 劳 斯 定 理 （ 简 称 梅 氏 定 理 ） 是 由 古 希 腊 数 学 家 梅 涅 劳 斯 首 先 证 明 的 。 它 指 出 ： 如果 一 条 直 线 与 ABC 的 三 边 AB、 BC、 CA 或 其 延 长 线 交 于 F、 D、 E 点 ， 那 么 (AF/FB)(BD
7、/DC)(CE/EA)=1。 或 ： 设 X、 Y、 Z 分 别 在 ABC 的 BC、 CA、 AB 所 在 直 线 上 ， 则 X、 Y、 Z 共 线的 充 要 条 件 是 (AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证 明 一 ：过 点 A 作 AG BC 交 DF 的 延 长 线 于 G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三 式 相 乘 得 ： (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证 明 二 ：智浪教育-普惠英才文库过 点 C 作 CP DF 交 AB 于 P， 则 B
8、D/DC=FB/PF， CE/EA=PF/AF 所 以 有 AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它 的 逆 定 理 也 成 立 ： 若 有 三 点 F、 D、 E 分 别 在 ABC 的 边 AB、 BC、 CA 或 其延 长 线 上 ， 且 满 足 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1， 则 F、 D、 E 三 点 共 线 。 利 用 这 个逆 定 理 ， 可 以 判 断 三 点 共 线 。 梅 涅 劳 斯 (Menelaus)定 理证 明 三 ：过 ABC 三 点 向 三 边 引 垂 线 AABBCC， 所 以 AD： DB=AA： BB， BE：
9、 EC=BB： CC， CF： FA=CC： AA 所 以 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 证 明 四 ：连 接 BF。 （ AD： DB） （ BE： EC） （ CF:FA) =（ S ADF： S BDF） （ S BEF： S CEF） （ S BCF： S BAF） =（ S ADF： S BDF） （ S BDF： S CDF） （ S CDF： S ADF） =1 此 外 ， 用 定 比 分 点 定 义 该 定 理 可 使 其 容 易 理 解 和 记 忆 ： 在 ABC 的 三 边 BC、 CA、 AB 或 其 延 长 线 上 分 别 取 L、 M、 N 三 点
10、， 又 分 比 是=BL/LC、 =CM/MA、 =AN/NB。 于 是 L、 M、 N 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是 =1。 第 一 角 元 形 式 的 梅 涅 劳 斯 定 理 如 图 ： 若 E， F， D 三 点 共 线 ， 则 (sin ACF/sin FCB)(sin BAD/sin DAC)(sin CBA/sin ABE)=1 即 图 中 的 蓝 角 正 弦 值 之 积 等 于 红 角 正 弦 值 之 积 智浪教育-普惠英才文库该 形 式 的 梅 涅 劳 斯 定 理 也 很 实 用 第 二 角 元 形 式 的 梅 涅 劳 斯 定 理 在 平 面 上 任 取 一 点 O，
11、 且 EDF 共 线 ， 则 （ sin AOF/sin FOB)(sin BOD/sin DOC)(sin COA/sin AOE)=1。 (O 不 与 点 A、 B、 C 重 合 ) 记 忆ABC 为 三 个 顶 点 ， DEF 为 三 个 分 点 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 （ 顶 到 分 /分 到 顶 ） *（ 顶 到 分 /分 到 顶 ） *（ 顶 到 分 /分 到 顶 ） =1 空 间 感 好 的 人 可 以 这 么 记 ： （ 上 1/下 1） *（ 整 /右 ） *（ 下 2/上 2） =1 塞 瓦 定 理 在 ABC 内 任 取 一 点 O， 直 线 AO
12、、 BO、 CO 分 别 交 对 边 于 D、 E、 F， 则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证 法 简 介 （ ） 本 题 可 利 用 梅 涅 劳 斯 定 理 证 明 ： ADC 被 直 线 BOE 所 截 ， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而 由 ABD 被 直 线 COF 所 截 ， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即 得 ： (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （ ） 也 可 以 利 用 面 积 关 系 证 明 BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD=(S ABD-S BOD)/(S
13、ACD-S COD)=S AOB/S AOC 同 理 CE/EA=S BOC/ S AOB AF/FB=S AOC/S BOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利 用 塞 瓦 定 理 证 明 三 角 形 三 条 高 线 必 交 于 一 点 : 设 三 边 AB、 BC、 AC 的 垂 足 分 别 为 D、 E、 F， 根 据 塞 瓦 定 理 逆 定 理 ， 因 为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA） /(CD*ctgB） *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1， 所 以 三 条 高 CD、 AE、 BF
14、交于 一 点 。 可 用 塞 瓦 定 理 证 明 的 其 他 定 理 ; 三 角 形 三 条 中 线 交 于 一 点 （ 重 心 ） :如 图 5 D , E 分 别 为 BC , AC 中 点 所 以BD=DC AE=EC 所 以 BD/DC=1 CE/EA=1 智浪教育-普惠英才文库且 因 为 AF=BF 所 以 AF/FB 必 等 于 1 所 以 AF=FB 所 以 三 角 形 三 条 中 线 交 于 一点 此 外 ， 可 用 定 比 分 点 来 定 义 塞 瓦 定 理 ： 在 ABC 的 三 边 BC、 CA、 AB 或 其 延 长 线 上 分 别 取 L、 M、 N 三 点 ， 又
15、分 比 是=BL/LC、 =CM/MA、 =AN/NB。 于 是 AL、 BM、 CN 三 线 交 于 一 点 的 充 要 条 件 是 =1。 （ 注 意 与 梅 涅 劳 斯 定 理 相 区 分 ， 那 里 是 =-1） 塞 瓦 定 理 推 论1.设 E 是 ABD 内 任 意 一 点 ， AE、 BE、 DE 分 别 交 对 边 于 C、 G、 F， 则 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因 为 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1， （ 塞 瓦 定 理 ） 所 以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（ K 为 未 知 参 数 ） 且 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（ K 为 未 知 参 数 ） 又 由 梅 涅劳 斯 定 理 得 ： (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所 以 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞 瓦 定 理 角 元 形 式 AD,BE,CF 交 于 一 点 的 充 分 必 要 条 件 是 ： (sin BAD/sin DAC)*(sin ACF/sin
