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1、第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第 2 试解答一、填空题(每小题 4 分，共 60 分。)1解答：原式254（814+921）100（4/7+3/7）1002如果 那么解答：（2006+4）5-2400，所以203如果数 A 减去数 B 的 3 倍，差是 51；数 A 加上数 B 的 2 倍，和是 111，那么数 A ，数B 。解答：依题意 A-3B51，A+2B111，两式相减得 5B60，所以 B12，A874如图 1，圆 A 表示 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3 整除的数，圆 B 表示这 50 个数中能被 5 整除的数，则阴影部分表示的数是 。解答：阴影部分是 A 和
2、 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3515 整除的数，即 15，30，455有 40 个连续的自然数，其中最大的数是最小的数的 4 倍，那么最大的数与最小的数之和是 。解答：最大的数是最小的数的 4 倍，那么两数之差就是最小数的 3 倍。最大数与最小数的差是 39，所以最小数是 39313，最大数是 13452，两数之和是 656牧羊人赶一群羊过 10 条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上 3 只，最后清查还剩 6 只。这群羊在过河前共有 只。解答：用还原法，过第 10 条河之前，有（6-3）26 只，因此他过每一条河之前都有 6 只羊，最初也共有 6
3、只。7一群猴子分桃，桃子共有 56 个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4 只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。解答：56 的因数有 1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有 4 和 8 相差 4，所以最后有猴子 8 只，每只猴子分到 5687 个桃子。8三只小猫去钓鱼，它们共钓上 36 条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5 倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条。黑猫钓上 条鱼。解答：白猫钓到 36（5+1）6 条，花猫和黑猫共钓 30 条花猫钓到的鱼比另外两只
4、猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条，那么就比黑猫钓到的 2 倍多 3 条，黑猫钓到（30-3）39 条9从 1，3，5，7 中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被 3 整除的有 个。解答：一个数能被 3 整除，它的各位数之和就能够被 3 整除。从 1，3，5，7 中任选 3 个数可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。和能被 3 整除的有：1，3，5 和 3，5，7，共能组成 3！212个数。10如图 2，两个同样的铁环连在一起长 28 厘米，每个铁环长 16 厘米。8 个这样的铁环依此连在一起长 厘米。解答：两个铁环连在一起，重叠的部分长 162-284
5、 厘米，8 个这样的铁环依此连在一起长 168-47100 厘米。11图 3 是 33 点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为 1。以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中面积为 1 的形状不同的三角形有 种。解答：在本题中，三角形的面积是 1，底和高只能一个是 1，一个是 2，可以有以下三种情况：12如图 4，用标号为 1，2，3，4，5 的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是 18，14，则标号为 5 的正方形的面积是 。解答：如果标号为 5 的正方形的边长是 a，那么 1 号比 2 号大 a，2 号比 3 号大 a，所以 1 号比 3 号大2a。又因为 2 号和 3
6、 号的边长之和是 14，1 号和 2 号的边长之和是 18，所以 1 号比 3 号大 18-144。即 2a4，a2，标号为 5 的正方形的面积是 4。13小强和小明一同到便利店购物，图 5 是他们两人购物的单据，由此计算出盐每袋 元，醋每袋 元。解答： 3 袋盐和 5 袋醋共 15 元，那么如果买 5 份这样的，即 15 袋盐和 25 袋醋共 75 元；5 袋盐和 3袋醋共 17 元，那么如果买 3 份这样的，即 15 袋盐和 9 袋醋共 51 元；所以 16 袋醋共 24 元，每袋醋 1.5元，所以每袋盐 2.5 元。14如图 6 所示的算式中，如果七个方格中的数字互不相同，那么和的最大值
7、是。解答：要使和最大，那么两个加数的十位要尽量大，即分别为 8 和 9，那么和的前两位是 17 或 18，数字不能重复，所以只能是 17，即个位不能进位，那么和的个位最大是 6，这时加数的个位分别是 2 和 4，可行。所以和的最大值是 176。15现在世界各国普遍采用的公历是在 1582 年修订的格列高里历，它规定：公元年数被 4 除得尽的是闰年，但如被 100 除得尽而被 400 除不尽的则不是闰年。按此规定，从 1582 年至今共有 个闰年。解答：1582-2006 共有（2004-1584）4+1106 个数能被 4 整除，能被 100 整除的有 5 个，但这 5 个数中 1700，18
8、00，1900 不能被 400 整除，所以共有 106-3103 个闰年。二、解答题(每小题 10 分，共 40 分。) 要求：写出推算过程。16如图 7 所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。解答：不存在这样的填法。 (2 分)理由。设所填的数分别是 a，b，c，如图所示。假设 a+b=奇数a+c=奇数，b+c=奇数， (5 分)三式相加左边=2(a+b+c)，是偶数， (7 分)右边=三个奇数相加，是奇数， (9 分)而 偶效奇数，所以不存在这样的填法(10 分)17甲、乙两人分别从相距
9、260 千米的 A、B 两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往 B 地、A 地。甲每小时行 32 千米，乙每小时行 48 千米。甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于 20 千米时，两人可用对讲机联络。问：(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?(2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?(3)他们可用对讲机联络多长时间?解答：(1)(260-20)(32+48)=3(小时)。 (3 分)(2)20(32+48)=0.25(小时)。 (6 分)(3)从甲、乙相遇到他们第二次相距 20 千米也用 0.25 小时所以他们一共可用对讲机联络0.25+0.25=0.5(小时)。 (9 分)1
10、8星期天早晨，小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。他换上新电池，估计了一下时间，将闹钟的指针拨到 8：00。然后，小明离家前往天文馆。小明到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是 9：15。一个半小时后，小明从天文馆以同样的速度返回家中，看到闹钟显示的时间是 11：20。请问，这时小明应该把闹钟调到什么时间才是准确的?解答：由小明的闹钟显示的时间可知小明出门共用了 3 小时 20 分钟。 (3 分)来回路上共用去 1 小时 50 分钟，回家路上用去 55 分钟 (6 分)从小明到达天文馆，到回到家中共经历 2 小时 25 分钟，小明到达天文馆时是 9:15，所以回到家中的时间是 11 时
11、40 分，即应把闹钟调到 11:40 (10 分)192005 年，小张有一次出差的几天的日期数加起来恰好是 60。问：小张出差了几天?是哪几天?(注：日期数指 a 月 b 日中的 b，如 4 月 16 日的日期数是 16)解答：先考虑日期数是连续整数的情况。因为 1+2+3+11=6660，所以 小张出差不会超过 10 天。 (2 分)显然，小张不可能只出差 1 天。假设出差 2 天，且第 1 天的日期数是 a，则a+(a+1)=60，2a=59，a 不是整数，因此，小张不可能出差 2 天。同理，有a+(a+1)+(a+2)=60a=19，可能出差 3 天；a+(a+1)+(a+2)+(a+
12、3)=60，4a=54，不可能出差 4 天;a+(a+1)+(a+4)=60，a=10，可能出差 5 天;a+(a+1)+(a+5)=60，6a=45，不可能出差 6 天；a+(a+1)+(a 十 6)=60，7a=39，不可能出差 7 天；a+(a+1)+(a+7)=60，a=4，可能出差 8 天；a+(a+1)+(a+8)=60，9a=24，不可能出差 9 天;a+(a+1)+(a+9)=60，lOa=15，不可能出差 10 天。 (6 分)再考虑跨了两个不同月份的情况2005 年各月的最大日期敛有 28，30，31 三种因为 27+28+1+260，28+1+2+760，所以不可能跨过最大日期数是 28 的月份。同理可判断不可能跨过最大日期数是 31 的月份。 (8 分)而 29+30+l=60，30+1+2+760，所以可能在 29 日,30 目，1 日这三天出差。综上所述，有 4 种可能：(1)出差 3 天从 19 目到 21 日；(2)出差 5 天，从 10 日到 14 日;(3)出差 8 天，从 4 日到 11 日;(4)出差 3 天。分别是 29 日30 日，1 日。 (10 分)
