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1、 推理与证明1.(2010山东高考文科)观察 2()x, 43()x, (cos)inx,由归纳推理可得:若定义在 R上的函数 ()fx满足 ff,记 g为 f的导函数,则 ()g=( )(A) ()fx (B) (C) () (D)【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识,考查了考生的观察问题,分析问题解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论,通过归纳类比联想,得出结论.【规范解答】选 D通过观察所给的结论可知,若 ()fx是偶函数,则导函数 ()gx是奇函数,故选 D2.(2010陕西高考理科)观察下列等式:321,3326,3321410,,根据上述规律,第五个等式为 _.【命题立意】本
2、题考查归纳推理,属送分题【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键【规范解答】由所给等式可得:等式两边的幂式指数规律明显,底数关系如下:123,6,12340,即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为:3 245(56)1.【答案】 3321. 3.(2010福建高考文科)观察下列等式: cos2a=2 2cosa-1; cos4a=8 4- 8 2+ 1; cos6a=32 6- 48 4cs+ 18 2osa- 1; cos8a=128 8oa- 256 6+ 160 4c- 32 2osa+ 1; cos10a= m 10- 1280 8+ 1120 6+ n 4c+ p 2s-
3、 1.可以推测,m n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解【思路点拨】根据归纳推理可得 【规范解答】观察得:式子中所有项的系数和为 1, m2801np1,np162,又905,25, n4, 962 【答案】9624.(2010浙江高考理科14)设 ,()(3)nnnNx201naxax,将 (0)kan的最小值记为 nT,则 23453510,2nTT其中 nT=_ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识,熟练掌握相关的推理规则是关键 【思路点拨】观察 nT的奇数项与偶数项的特点【规范解答】观察 表达式的特点可以看出 240,T, 当 n
4、为偶数时, 0nT;3312T, 55123, 当 n为奇数时,123n【答案】0,nn当 为 偶 数 时当 为 奇 数 时5.(2010北京高考文科20)已知集合 )2(,1,0,),(21 nixxXSinn LL对于 12(,.)nAa,12(,)nBb,定义 A 与 B 的差为 (|,|;nabbA 与 B 之间的距离为 niibad1),(()当 n=5 时,设 0,(,0)AB,求 AB, (,)d;()证明: ,nnCSS有 ,且 ,)dC;() 证明: ,(),()BdA三个数中至少有一个是偶数【命题立意】本题属于创新题,考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的,对学生的“
5、学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习,更加注重学生“学习能力” 、 “创新能力”的培养【思路点拨】 (I) ()直接按定义证明即可;() “至少”问题可采用反证法证明【规范解答】 () (01,01)AB(1,0,1,0,1)(,)d3()设 121212,(,),(,)nnnabCcS因为 ,0,,所以 10,ai从而 12( )nnABS由题意知 ,(,iiabci当 0ic时, iiicab当 1i时, (1)ii iiiab 所以 1(,)(,)nidACBabdAB()证明:设 21212(,),(,)nnnbCcS(,),)dkldCh记 0nS由()可知(
6、,)(,)(0,),ABABkdCdlh所以 (12)iban中 1 的个数为 k, (1,2)ican中 1 的个数为 l设 t是使 iic成立的 i的个数。则 hlkt由此可知, ,klh三个数不可能都是奇数,即 ()(,)dABCd三个数中至少有一个是偶数 6.(2010北京高考理科20)已知集合 )2(,1,0,),(21 nixxXSinn LL对于 12(,.)na, 12(,)Bb,定义 A 与 B 的差为12|,|,|;nABbaA 与 B 之间的距离为 niibad1),(;()证明: ,nnCSS有 ,且 (,),dC;()证明: (),d三个数中至少有一 个是偶数() 设
7、 P n,P 中有 m(m2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d(P).证明: d(P) 2(1)m.【命题立意】本题属于创新题,考查了学生运用新知识的能力,考查了反证法、不等式证明等知识本题情景是全新的,对学生的“学习能力”提出了较高要求要求教师真正的重视学生的探究性学习,更加注重学生“学习能力” 、 “创新能力”的培养【思路点拨】 (I)直接按定义证明即可;() “至少”问题可采用反证法证明;()把 ,(,)ABPd表示出来,再利用均值不等式证明 【规范解答】 (I)设 12(,.)nAa, 12(,.)nBb, 12(,.)nCcS因为 ia, 0ib,所以 |0i, ,.
8、i 从而 12(|,|,.|)nnBaS又 1(,)|niiidACcb由题意知 ia, ib, ic0,(,2.).当 0ic时, |iiiab;当 1i时, |(1)|ii iiicba所以 1(,)|,niidACBabdAB(II)设 12,.na, 12(,.)n, 12(,.)nCcS()dk, (,)dl, dh.记 0,.nOS,由(I)可知()(,)ABOAk, (,)(,)CdOAl,dCh所以 |(12.,)iban中 1 的个数为 k, |(1,2.)ican中 1 的个数为 l设 t是使 |iic成立的 i的个数,则 2hlkt由此可知, ,klh三个数不可能都是奇数
9、,即 ()dAB, ()C, ()d三个数中至少有一个是偶数(III)2,1,ABPm,其中 ,(,)ABPd表示 中所有两个元素间距离的总和,设 P中所有元素的第 i个位置的数字中共有 it个 1, imt个 0则 ,(,)ABPd 1()niit 由于 it()im2(1,.)4in所以 ,ABPd2从而22,1()(,)4(1)ABPmmnCC【方法技巧】 (1)证明“至少有一个”的时,一般采用反证法;(2)证明不等式时要多观察形式,适当变形转化为基本不等式7.(2010江苏高考23)已知ABC 的三边长都是有理数。(1)求证:cosA 是有理数;(2)求证:对任意正整数 n,cosnA
10、 是有理数。【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】 (1)利用余弦定理表示 cosA,由三边 ,abc是有理数,求得结论;(2)可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一:(1)设三边长分别为 ,,22osaAbc, ,bc是有理数,22bca是有理数,分母 2bc为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性, 必为有理数,cosA 是有理数。(2)当 1n时,显然 cosA 是有理数;当 时, 2coss1A,因为 cosA 是有理数, cos2A也是有理数;假设当 ()k时,结论成立,即 coskA、 cos(1)k均
11、是有理数。当 1n时, cs1csoinkA,1o()s()cos()2kAkA,1cs1cosco2kk,解得: ()s()AcosA, coskA, 1均是有理数, cosco(1)kAk是有理数, (1)是有理数。即当 nk时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。方法二:(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知22cosABC是有理数。(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sinA都是有理数。当 1n时,由(1)知 co是有理数,从而有 2sin1cosAA也是有理数。假设当 ()k时, sk和 ik都是有理数。当 1n时,由 co1cosinsA,si()sin(s)(i)cos(ins)coAkkkAkAkA ,及和归纳假设,知 )和 is1都是有理数。即当 1k时,结论成立。综合、可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。