推理与证明--高考题

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1、 推理与证明1.（2010山东高考文科）观察 2()x， 43()x， (cos)inx，由归纳推理可得：若定义在 R上的函数 ()fx满足 ff，记 g为 f的导函数，则 ()g=（ ）（A） ()fx (B) (C) () (D)【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.【规范解答】选 D通过观察所给的结论可知，若 ()fx是偶函数，则导函数 ()gx是奇函数，故选 D2.（2010陕西高考理科）观察下列等式：321,3326,3321410,，根据上述规律，第五个等式为 _.【命题立意】本

2、题考查归纳推理，属送分题【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：123,6,12340,即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：3 245(56)1.【答案】 3321. 3.（2010福建高考文科）观察下列等式： cos2a=2 2cosa-1; cos4a=8 4- 8 2+ 1; cos6a=32 6- 48 4cs+ 18 2osa- 1; cos8a=128 8oa- 256 6+ 160 4c- 32 2osa+ 1; cos10a= m 10- 1280 8+ 1120 6+ n 4c+ p 2s-

3、 1.可以推测，m n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解【思路点拨】根据归纳推理可得 【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为 1， m2801np1，np162，又905,25， n4， 962 【答案】9624.（2010浙江高考理科14）设 ,()(3)nnnNx201naxax，将 (0)kan的最小值记为 nT，则 23453510,2nTT其中 nT=_ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键 【思路点拨】观察 nT的奇数项与偶数项的特点【规范解答】观察 表达式的特点可以看出 240,T， 当 n

4、为偶数时， 0nT；3312T， 55123， 当 n为奇数时，123n【答案】0,nn当 为 偶 数 时当 为 奇 数 时5.（2010北京高考文科20）已知集合 )2(,1,0,),(21 nixxXSinn LL对于 12(,.)nAa，12(,)nBb，定义 A 与 B 的差为 (|,|;nabbA 与 B 之间的距离为 niibad1),(（）当 n=5 时，设 0,(,0)AB，求 AB， (,)d；（）证明： ,nnCSS有 ，且 ,)dC;() 证明： ,(),()BdA三个数中至少有一个是偶数【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“

5、学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力” 、 “创新能力”的培养【思路点拨】 （I） （）直接按定义证明即可；() “至少”问题可采用反证法证明【规范解答】 （） (01,01)AB（1,0,1,0,1）(,)d3()设 121212,(,),(,)nnnabCcS因为 ,0,，所以 10,ai从而 12( )nnABS由题意知 ,(,iiabci当 0ic时， iiicab当 1i时， (1)ii iiiab 所以 1(,)(,)nidACBabdAB()证明：设 21212(,),(,)nnnbCcS(,),)dkldCh记 0nS由（）可知(

6、,)(,)(0,),ABABkdCdlh所以 (12)iban中 1 的个数为 k, (1,2)ican中 1 的个数为 l设 t是使 iic成立的 i的个数。则 hlkt由此可知， ,klh三个数不可能都是奇数，即 ()(,)dABCd三个数中至少有一个是偶数 6.（2010北京高考理科20）已知集合 )2(,1,0,),(21 nixxXSinn LL对于 12(,.)na， 12(,)Bb，定义 A 与 B 的差为12|,|,|;nABbaA 与 B 之间的距离为 niibad1),(；（）证明： ,nnCSS有 ，且 (,),dC;（）证明： (),d三个数中至少有一 个是偶数() 设

7、 P n，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d(P).证明： d（P） 2(1)m.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力” 、 “创新能力”的培养【思路点拨】 （I）直接按定义证明即可；（） “至少”问题可采用反证法证明；()把 ,(,)ABPd表示出来，再利用均值不等式证明 【规范解答】 （I）设 12(,.)nAa， 12(,.)nBb， 12(,.)nCcS因为 ia， 0ib，所以 |0i, ,.

8、i 从而 12(|,|,.|)nnBaS又 1(,)|niiidACcb由题意知 ia， ib， ic0,(,2.).当 0ic时， |iiiab;当 1i时， |(1)|ii iiicba所以 1(,)|,niidACBabdAB(II)设 12,.na， 12(,.)n， 12(,.)nCcS()dk， (,)dl， dh.记 0,.nOS，由（I）可知()(,)ABOAk， (,)(,)CdOAl,dCh所以 |(12.,)iban中 1 的个数为 k， |(1,2.)ican中 1 的个数为 l设 t是使 |iic成立的 i的个数，则 2hlkt由此可知， ,klh三个数不可能都是奇数

9、，即 ()dAB, ()C, ()d三个数中至少有一个是偶数（III）2,1,ABPm,其中 ,(,)ABPd表示 中所有两个元素间距离的总和，设 P中所有元素的第 i个位置的数字中共有 it个 1， imt个 0则 ,(,)ABPd 1()niit 由于 it()im2(1,.)4in所以 ,ABPd2从而22,1()(,)4(1)ABPmmnCC【方法技巧】 （1）证明“至少有一个”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式7.（2010江苏高考23）已知ABC 的三边长都是有理数。（1）求证：cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA

10、 是有理数。【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】 （1）利用余弦定理表示 cosA，由三边 ,abc是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为 ,，22osaAbc， ,bc是有理数，22bca是有理数，分母 2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， 必为有理数，cosA 是有理数。（2）当 1n时，显然 cosA 是有理数；当 时， 2coss1A，因为 cosA 是有理数， cos2A也是有理数；假设当 ()k时，结论成立，即 coskA、 cos(1)k均

11、是有理数。当 1n时， cs1csoinkA，1o()s()cos()2kAkA，1cs1cosco2kk，解得： ()s()AcosA， coskA， 1均是有理数， cosco(1)kAk是有理数， (1)是有理数。即当 nk时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。方法二：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知22cosABC是有理数。（2）用数学归纳法证明 cosnA 和 sinA都是有理数。当 1n时，由（1）知 co是有理数，从而有 2sin1cosAA也是有理数。假设当 ()k时， sk和 ik都是有理数。当 1n时，由 co1cosinsA，si()sin(s)(i)cos(ins)coAkkkAkAkA ，及和归纳假设，知 )和 is1都是有理数。即当 1k时，结论成立。综合、可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。