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1、2004-2005 第二学期数学模型课程设计2005 年 6 月 20 日6 月 24题目 报童的最佳定货策略 组员 1 组员 2 组员 3 组员 4姓名学号专业成绩报童的最佳定货策略摘要:本论文讨论的是报童卖报的问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值，也就是使报童获得的利益最大,本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论，尽管报童赢利最大期望值和报童损失最小期望值是不相同的，但确定最佳订购量的条件是相同的。并将模型进行推广。我们利
2、用的是函数的应用, 函数在现实生活中的应用,函数是高中数学中十分重要的一个分支，而它在现实生活中也有着非常大的实际意义。它在国民经济、物理、化学及其诸多方面都有广泛的应用。 函数在各方面的应用比如人们长说的薄利多销并不一定获利最多，往往依据市场变化规律，建立恰当的函数关系式，通过研究函数的最值问题来确定获利的情况。关键字: 期望值、连续、离散一 背景及问题的提出在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，因此在整个的需求过程中只考虑一次进货，也就是说当存货售完时，并不发生补充进货的问题。这就产生一种两难局面：订货量过多，出现过剩，会
3、造成损失；订货量少，又可能失去销售机会，影响利润。报童就面临这种局面，报童每天清晨从报社购进大量各种不同类型报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。由于顾客对各种类型报纸的喜好不同，常常碰到以下问题：如果报纸购进太少，有些报纸会脱销，那么报童将会少赚钱；如果购进太多，有些报纸卖不完，那么报童退回报纸将要赔钱。为了解决这个问题，报童需要考虑不同类型报纸搭配的最佳订货策略。报童每天要订购多少份报纸，以获得最大的收入。（1）请你为报童筹划一下，制定一种最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润。（2）假设报童每天投入的资金设为定值 S，那么在资金一定条件下，制定最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润。（3）自己
4、设计或调查一组数据对模型进行检验。二 问题的分析报童卖报的问题实际上是一个使报童卖报赢利取得最大数学期望值的问题。在资金不受限制的情况下，只需要考虑各种报纸的独立销售量即可，因此报童只要根据他的顾客对每一种报纸的需求的不同来订购报纸；当资金为定值的条件下，不仅要考虑每种报纸的独立的需求量，还要考虑到哪几种报纸的利润风险较小，在订购时就订购那些报纸，这样报童才能获得最大的数学期望值,即有最大的利润,赚到最多的钱.三模型的假设(1) 假设报纸每天的订购价格和出售价格都不变；(2) 假设报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的分布；且在销售的范围内每天报纸的需求量为 r 的概率为 f(r)；
5、(3) 假设报纸的需求量不受天气等其它自然环境的影响；(4) 由于对不同种类的报纸受欢迎程度是不同的，即需求量是不同的,因此购入量也是不同的；四 符号系统（i=1,2,m ）ai第 i 种报纸的零售价格；（ i=1,2 ,m）Lbi第 i 种报纸的购进价格；ci第 i 种报纸的退回价格；第 i 种报纸的需求量；rpi（r）第 i 种报纸销售量为 r 的密度函数；Fi（r） 第 i 种报纸销售量为 r 的分布函数；Gi（r）第 i 种报纸赢利的数学期望；gi（r）第 i 种报纸销售量为 r 时的利润；ni第 i 种报纸的购进数量；G(m)- m 种报纸赢利的数学期望；因此问题就归结为上面的符号已
6、知时，求第 i 种报纸的购进量使 G（m）最大。五 模型的建立与求解1. 先来看只有一种报纸的情况：我们有总的收益是： nr0rnG()g()fg()fr=+其中，g(r) 是 r 个人购买报纸时的收益，f(r) 是每天有 r 个人购买这种报纸的概率，n 为需求量： (ab)r(c) rg)n - 为了使 G(n)达到极大值，有：（1）离散的情况下， ，可以解得 。G(1()+- n-1nr0r0a-bp()p()c=（2）连续的情况下，对以上公式求导，令 ,得到dGr（1）0()nnprdabc可得出卖一种报纸时能达到最大收益的条件： n0abp(r)dc-=其中，a 为零售价，b 为购进价
7、，c 为退还价， 为需求量的概率密度函数。这样，便可(r)求出报童的购进量 n。由（1）式可知，购进的份数 n 应该是卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔的钱 b-c 之比。显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越答时，报童购进的份数就越多。2. 购入多种报纸，资金无限制的情况当报纸有 m 种时，在没有其他约束条件的情况下，我们可以把这几种报纸看成是独立的：计算出第 i 种报纸的购进量 ni，使的 Max 即可。ni ii iir0rnG()g()fg()fr=+3. 购入多种报纸，资金有限制的情况当投放的资金量不能超过 S 时，就的考虑报纸的分险
8、情况，使得报童所受到的分险尽量的小，就需要考虑这几种报纸之间的关系：在 的条件下，考虑不同报纸的利益风险不同，利用利润方差来表示风险程度：mii1bn=22i iiir0V(n)g()Fr-G(n)=则满足 最大且 最小的 的分配方案，使得 G（m ）最大，就是最优方mii1G()=mii1=i案。即就是使分险最小。则 MaxG（m）= ；mi ii1i1G(n)V()=-4. 求解： 1) 资金无限制时，各种报纸的情况与上面的一种报纸的情况是一样的,我们所取的数据如下(m=3)，i=1,2,3，假设概率分布为连续的ai 0.5 1 0.8bi 0.3 0.75 0.6ci 0.2 0.6 0
9、.5pi(r) N(100,25) N(50,10) N(40,5)则 利用数学软件可以求得。2()01ii xnii beac2) 资金有限时，转化为最优化问题， 最大且 最小，也就是mii1G(n)=mii1V(n)=达到最大值，其他条件与分开考虑各种报纸的情况相同。为了把mi ii1i1G(n)V()=-连续的正态分布函数离散化以便计算，我们利用数值方法建立了三个随机的正态分布的近似函数 Fi(r)，由 Fi(200)约为 0，我们用 200 代替 。而可以建立整数规划模型如下：目标函数：mmi ii1i1ax(n)V()=-限制条件：i ini i ir0rniiiiiiiii ii
10、ii22i iiir0mii14327()g()FgFrbrc)() n(a) rVn)gF(r-G)bSF(r).5r1r0r1.30=+- -+-243273065.利用 Lingo 软件编程实现上述模型，代入测试数据如下：(程序见下面)Lingo 程序model:sets:paper/1.3/:a, b, c, dab, dbc, n, Gp, v;buyer/1.200/;freq(paper, buyer):F;prof(paper, buyer):g;endsetsa1=1.07691*(10-11);c1=0.000485641;a2=3.73872*10-11;c2=0.009
11、96884;a3=1.53267*10-10;c3=0.0124477;!Init the values;for (paper(i):dab(i)=a(i)-b(i);dbc(i)=b(i)-c(i);gin(n(i););for (buyer(i):F(1, i)=a1/4*i4-100*a1*i3+10000*a1*i2+c1;F(2, i)=a2/4*i4-50*a2*i3+7500*a2*i2+c2;F(3, i)=a3/4*i4-40*a3*i3+1600*a3*i2+c3;);!Statements;for (paper(i):for (buyer(r):g(i, r)=if(r
12、#LE# n(i), dab(i)*r-dbc(i)*(n(i)-r), 0) + if(r #GT# n(i), dab(i)*n(i), 0);););for (paper(i):Gp(i)=sum(buyer(r)|r #LE# 200: g(i, r)*F(i, r);v(i)=sum(buyer(r)| r #LE# 200:g(i, r)*g(i, r)*F(i, r)-Gp(i)*Gp(i););!Maximum;max=sum(paper:Gp)-sum(paper:v);data:a= 0.51 0.8;b= 0.30.75 0.6;c= 0.20.60.5;enddatae
13、nd六 模型的评价与改进：其实这个思想是简单，操作起来可是不怎么容易。由于 m 是不确定的，这样如果我们自己动手算的话，工作两是很大的。不过用数学软件做的话，相对来说是简单了，可是我觉得也不是很理想。因为这道题看上去是线性规划的，可是如果想在 lingo 中编程解答的话，不是很容易的，写出来是比较长的，而且运行起来也不是很容易。如果写成 C 语言的话，可能比较好运行。但是这种思想是我们值得推广的。但是模型还是有一定的局限性，需要做进一步的完善与研究。具体的说，就是我们还可以将时间作为一个变量，将模型更加细化。七 参考文献：数学模型（第三版） 姜启源 谢金星 叶俊 编 高等教育出版社概率论与数理统计教程 魏宗舒等 编 高等教育出版社数学建模技术 谢兆鸿 范正森 王艮远 编 中国水利水电出版社数学模型与数学建模 刘来福 曾文艺 编 北京师范大学出版社
