《复变函数与积分变换讲稿 第二章 拉普l拉斯变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换讲稿 第二章 拉普l拉斯变换（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第二章 拉普拉斯变换(2)拉普拉斯（Laplace）变换（简称拉氏变换）在电学、力学、控制论等很多工程与科学领域中有着广泛的应用。对某些问题，它比傅氏变换的适用面要广，这是因为它对像原函数 要求的条件比起傅氏变换来要弱的缘故。)(tf1 拉普拉斯变换的概念一、从傅氏变换到拉氏变换傅氏变换要求函数满足狄氏条件，且在 内绝对可积，但在工程技术中，变),(量是时间，定义在 内，而且，许多常用的函数（例如单位阶跃函数，正弦、余弦，,0线性函数等） ，都不满足绝对可积的条件，所以我们对傅氏变换中的被积函数 ，)(tu使其积分定义在 ， ，另外，再乘以指数衰减函数 ，, 0)(,tut 0te使其衰减速
2、度加快，当 时，只要 足够大，则 就能满足绝对tutt)(,0可积，因此傅氏变换就转换为拉氏变换。即 ， 00)()()()( dtefdtetfdtetuF piit 其中 ，令 ，则可得iptf, Fip称该积分变换为拉普拉斯变换。0)()(tefp二、拉氏变换的概念定义 1 设 为实变量 的实值（或复值）函数，当 时有定义，如果积分)(tft 0t（其中 为复参数）0dept ip,在 的某一区域内收敛，则由此积分就确定了一个复变数 的复函数 ，即p p)(pF，称该积分变换为拉普拉斯变换 （1）0)()(tfFp记为 ，即 ，tL0)()(dteffLp并称 为 的拉氏变换的像函数。相
3、反，从 到 的对应关系称为拉氏逆变换)(pf )(Ftf（或称为拉氏反变换） ，记作，)()(1pLtf并称 为 的拉氏逆变换的像原函数。)(pFtf三、一些常用函数的拉氏变换例 1 求单位阶跃函数 的拉氏变换。0,1,)(ttu解 由（1）式得。 pedtetetuLtpp 1)()( 000 由于 ，所以，当且仅当 时， 存在且等于零。ttipte)( Rpttelim从而 ，)0(e,1)(ptuL括号中的 是函数 的拉氏变换的积分收敛域。0Rep)t例 2 求 ，其中 为复常数。ktL解 由（1）式得 0)(0 dtedteekppktkt)Re(,11)( ptkp 例 3 求 ，其
4、中 为复常数。ktLsin解 00 !2ii dtedtet ikitp0)()(!21tikptikp。0)()(!21dedtetiki由例 3，上式右端第一个积分当且仅当 时收敛，而第二个积分当且仅kipImR当 时收敛。于是有kipIm)Re(。 )I(e)1(!21sin2kpkpiiptL 类似地，可验证：，)Im(Re,cos2kt，)(,2kpphktL 。)Re(,2kpkpchtL这里 为复常数。k例 4 求幂函数 的拉氏变换。)1()mtf解 。令 ，则0dtetLpm duptutt1, 011010)( dueeut mumm，所以有 。当 为正整数时，则有1mp)(
5、R)1ptLm。)0(e,!)(11ptL周期函数的拉氏变换若函数 以 为周期，即 当 在下一个周期上是分段连续)(tfT)(,)(tfTtf (tf时，则有 。 0Re)10pdeeLptp例 5 求周期三角波 ，且 的拉氏变换。bttbtf 2,2( )(2(tfbtf解 由公式 )0(Re,)(1)(0pdteftfLTppt bptbtpbtp dedefetf 20220 )(1)()(。2tanh11)()1( 2222 bebpbpbpbp 例 6 求单位脉冲函数 的拉氏变换。t解 利用性质 ，有)0()(fdf00)()()( dtedtet pp。1tppte四、拉氏变换的存
6、在定理定义 对实变量的复值函数 ，如果存在两个常数 及 ，使对于一切)(xf 0Mc都有 （5） 成立，即 的增长速度不超过指数函数，则称0t tcMexf)( )(tf为指数级函数， 为其增长指数。)(tf c拉氏变换存在定理 设函数 满足下列条件：)(tf； 的任一有限区间上分段连续，间断点的个数0)(,01tft时当o 02t在o是有限个，且都是第一类间断点； 是指数函数。)(3f则 的拉氏变换 )(tf 0)(dtepFp在半平面 上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛，同时在此平面内，cpRe是解析函数。)(F证 由条件 可知，存在常数 及 ，使得o30Mc，)()(tetftc于是
7、，当 时，cpRe 00)()()( dtefdtefpFpp)(Mtt cc ，C所以积分 在 内收敛（而且绝对收敛） ，即 存在。0)(dtefpcR)(pF推论 若 满足上述存在定理中的条件，则 。t 0)(limRep事实上， ，当 时， ，即。cMpF)( pe)(F。0)(limRefp习题 二、1. 4） ，6） ；2. 2） ，3） ，5） ；6.1） ，3） ；11.1） ，3） 。2 拉普拉斯变换的基本性质1. 线性性若 ， ，则对于任何两个复常数 和 ，有)()11pFtfL)()22pFtfL，)(21tf 或 。)()(21 tftf2相似性若 ，且 ，则 。)(pF
8、tfL0)(1)(pFtfL证 作变量代换 ，可得ut00 )(1)()( duefdteftf pp。1F3延迟性 若 ，则对于任意非负实数 有)(ptfL0t，)(00pFetut或 。()10 tufFept证 0)() dtetttfLp 0(00 fdetututp。)(pFfept例 求 的拉氏变换。btbtu,1,0(这个函数由单位阶跃函数向右平移 而得，如下图。解 由 ，由延迟性则有 。ptuL1)(ptebtuL1)(例 求 的拉氏变换。2t解 。pLtttL121)1( 34位移性 若 ，则有)(pFtf capaFtfea )Re()()证 )(00 dtdtfeeLpa
9、tat 例 求 。mt解 因为 ，利用位移性，可得 。1)(mptL1)(matpeL同样 。2)(sinkakteat例 求 的原像函数 。9)2(51PL)(tf解 222 3)(13)()( pppF由于 ，由位移性，所以23costL tePLt3cos)(221同样 ，tePt3sin1)(122。ttetf tt i3cos2)(5微分性质10 像原函数的微分性质若 在 上可微，则 。)(tf,)0()(fpFtfL证 由定义 ，利用分部积分法可得0)(detfLpt )0()()(0 fpFdteftftf ptt )()(2pF推论 若 在 中 次可微，且 满足拉氏变换存在定理
10、的条件，又tf0n)(tfn，则有)(ptfL)(Re.)0)0()()( 01(21)( pffpfpFtf nnnnn L特别当初值 ，则 。00)1(fL()(Fn例 已知 ，利用原像函数的微服性质，可求出 。2sinkptL ktLcos解 由于 。221)(sin,1cos,)(i1co kpkpktLtLtkt 20 像函数的微分性质若 ，则 。)(pFtfL )(Re,)( 0 ptf证 因为 在半平面 内解析，因而可导，即)(pF0Rep)()()()( 000 tfLdtetfdtetfdtfd pp 更一般地，有 。)(1)(tfLpFnn例 求 。tteL3cos2解 因
11、为 ，而 ，由像函数的微分性质，92pt9)2(3cos2ptet所以 。2222 9)()()()(3cos pdtteL6积分性质若 ，则 。)(pFtf)(1)(0pFtfLt证 设 ，则 ，且 ，tdfh0tfh0h所以有 ，)()0(,)( pLtLpt 所以 。10Fdtft例 。tueL23cos解 利用 ，由像函数的积分性可得29)(ptt 22)(3cosudeL推广 。1)00 pFtftnnt 41次7像函数的积分性质若 ，且积分 收敛，则 。)(pFtfLpd)( pdFtfL)()(或 。pFtLf1更一般地有 。4342次npddt )()(例 求 的拉氏变换。tL
12、sinh解 由于 ，由像函数的积分性质有1si2p。1ln21ln2inh2 ppdtLp如果积分 ，其中 。00 )()(Ftf )()(tfLF例如 积分 ，与前面的狄氏积分的结果完全相同。2arctn1sin0020 pdpt7. 2） ，4） ，6） ，9）13） ；8. 1） ，3） ，7） ，10） ；9. 2） ，4） ，8） ，11） ；。3 拉普拉斯逆变换前面我们已经讨论了由已知原象函数 ，如何求它的拉氏变换后的)(tf原象函数 。同样，我们也要讨论由已知象函数 ，如何求它的)(pF )(pF原象函数 的问题。当然，我们可以根据拉氏变换的性质，求出某tf些象函数的原象函数，但
13、对于一般的象函数，如何求出它们的原象函数？这就是我们要讨论的拉氏变换的逆变换问题。一、复反演积分公式定理 1 . 若函数 满足拉氏变换存在定理中的条件，)(tf为收敛坐标，则 由下式给出0,()pFtfL)(1pFL， （1）0,()(2 tipdeipt 其中 为 的连续点。t)(f如果 为 的间断点，则改成 。dpeFitftf t)(2)()(这里的积分路线是平行于虚轴的任一直线 。Re0p我们称（1）式为复反演积分公式。其中的积分应理解为。iptipt dFdeF)(lm)(证 由1 的拉氏变换存在定理，当 时， 在0tef)(t0上绝对可积；又当 时， 。因此函数 在 上0t)(tf t也绝对可积，它满足傅氏积分存在定理的全部条件，所以在 连续点处有)(tf deeufetf ii)(21)(0)(deiti，iFt)(将上式两边同乘以
