卢卡斯人力资本模型的推导

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1、卢卡斯人力资本模型的推导2006.5.卢卡斯模型 卢卡斯的模型实际上是“专业化人力资本积累增长模式” 。卢卡斯模型揭示了人力资本增值越快，则部门经济产出越快；人力资本增值越大，则部门经济产出越大。卢卡斯模型的贡献在于承认人力资本积累不仅具有外部性，而且与人力资本存量成正比。卢卡斯模型的贡献在于承认人力资本积累(人力资本增值)是经济得以持续增长的决定性因素和产业发展的真正源泉。卢卡斯假定人力资本投资的边际产出率递减并引入人力资本外部效应，即社会平均人力资本水平，同时，又假定私人人力资本投资有收益递增的效应，从而证明了人力资本增长率正比于人力资本投入产出率，正比于社会平均人力资本和私人人力资本在最

2、终产品的边际产出率，反比于时间贴现率。卢卡斯模型的其核心假定是： 1.人力资本的增长率是人们用于积累人力资本的时间比例的线性函数（这与纯粹的“干中学”模型有所不同） ，从而引入了人力资本生产部门； 2.工人的人力资本水平不仅影响自身的生产率，而且能够对整个社会的生产率产生影响（每一经济个体在进行决策时不考虑这部分影响） ，这是该模型能够产生递增规模收益（整个经济水平）和政府政策增长效应的基础“边际生产力”指的是在其他条件不变前提下每增加一个单位要素投入所增加的产量，即边际物质产品（Marginal Physical Product, 有时被简称为边际产品 MP） 。而增加一个单位要素投入带来的

3、产量所增加的收益，叫做边际收益产品（Marginal Revenue Product, 简写为 MRP） 。边际收益产品等于要素的边际物质产品和边际收益的乘积，即： MRP=MPMR 因此，可变要素的边际收益产品 MRP，取决于两个因素：增加一单位要素投入带来的边际物质产品（MP）的变化；增加一单位产品所增加的收益（MR）的变化。 下面我们来分析边际生产力的变化特征。 假定其他要素投入量不变，只有一种可变要素。那么，随着可变要素的不断增加，其边际生产力最初上升，超过某一点后，开始下降。 以劳动作为可变要素为例，劳动投入量和劳动的边际生产力之间的关系，可用图 9-1中的边际生产力曲线表示。 图

4、9-1 要素的边际生产力曲线 同样地，如果假定资本是可变要素，也可用图 9-1 来大致表示资本的边际生产力曲线，即资本的边际生产力最初上升，达到某一点后，出现下降。 就本节的目的而言，人力资本是指个体的一般技术水平。因此一个人力资本为 的工()ht人的生产力相当于两个人力资本分别为 的工人，或相当于一个人力资本为 2 的1()2ht半日制工人。人力资本关注如下事实：个人对当期各种活动的时间分配方式将影响其未来的生产率，或 水平。把人力资本引入模型就得解释清楚人力资本水平怎样影响当期生()ht产，以及当期时间分配方式怎样影响人力资本积累。有很多方法可以系统地阐述“技术”的这两个方面，根据个人目标

5、的不同，可自行选择。让我们从以下的简单假设开始。假设共有 N 名工人，他们的技术水平 h 从 0 到无穷不等。令技术为 h 的工人数量为 ，()Nh故 。设技术为 h 的工人将其非闲暇时间的 部分用于生产，1- 用0()hd ()uu于人力资本积累，则生产中的有效劳动力对应于（2）式中的 为参与当期生t产的以技术为权数的工时数之和 。故若产出为总资本 K 和有效劳动0()eNuhd的函数 ，则技术为 h 的工人的小时工资为 ，总收入为eN(,)eFK(,)eNFh。(,)hu个体人力资本除对其自身生产率的效应外我称之为人力资本的内部效应还应考虑其外部效应。具体而言，令平均技术水平或者说平均人力

6、资本由下式定义： .20()ahNd这一平均指标对生产中所有因素的效率都会产生作用。我称 为效应外溢，因为虽然人人ah的生产率都从中受益，但个人人力资本积累的决策对 的影响是微不足道的，故没有人会在决定时间分配时考虑这一因素。若沿用先前的分析方式并将经济中所有的工人视为同质，则可大大简化分析。在本例中，若所有工人的技术为 h，且分配于劳动的时间比例都为 u，则有效劳动力为 ，平eNuh均技术水平 。但我在下文中仍继续使用 这一符号，以强调内部效应与外部效应的aah区别。描述商品生产技术的（2）式现在被下式所替代：（11）. 1()()()()raNtcKtAtutNt反映了人力资本的外部效应，

7、技术水平 A 现在假设为不变。rah为使模型完整，必须将用人力资本积累的份额 1- 与人力资本水平 的变化率联系起()ut()ht来。所有内容都将围绕这一联系展开。我们从如下假设开始：人力资本的增长 与其既.t有水平及用于积累时间分配有关，即：（12）.()(1)htGut为增函数， 。若令此式中的 ，则人力资本积累的收益递减，由此很容易G(0)1看出人力资本无法替代技术项 作为增长的一个驱动力。未看清楚这一点，请注意由于()At， （12）式表明：()0ut.1()()htG因此不管赋予人力资本积累的时间份额有多大， 最终必趋向于零。在这种情况下只是.()ht使索洛模型复杂化了， 而未提供任

8、何真正的新东西。在假设（12）式的右边线性（ ）的情况下，宇泽（1965）提出了一个与此十分类似1的模型（他同时假设 ） 。他的方法的显著特征，在于其仅靠内生的人力资本0,()rUc积累即可以保证人均收入的持续的增长，无需外部的“增长驱动” 。宇泽的线性假设看起来似乎是行不通的，因为我们在现实中观察到的人力资本的个体收益是递减的。人们在生命的早期进行快速积累的收益要小。但这一现象也有另外一种解释，即人的生命是有限的，所以随着生命的缩短，增加人力资本的回报也会随之下降。罗森（1976）证明，当 时，又（12）式所示的积累技术与我们观察到的关于个人收入的1证明一致的。我把宇泽罗森公式改变一下，为简

9、单起见假设 G 是线性的，得到： （13）.()()htut根据（13）式，若不进行积累（ ） ，则累积量为零。若全部时间用于积累（1t） ，则 h(t)达到最大增长率 。在这两个极端之间，不存在 h(t)的收益递减，h(t)每()0ut一给定百分比的增长都需要付出相同多的努力，而不管 h(t)的既有水平多高。我不得不说些题外话，因为把用于有限生命个人的由（13）式表示的人力资本积累技术应用于无限生命的代表性家庭还需要做些工作。例如，每个人以罗森模型中描述的方式获得人力资本，但这些资本完全没有传递给下一代，则家庭的人力资本存量不变（家庭人口固定） 。要使（13）式适合家庭行为，不但需要假设个人

10、积累服从此式，还需假设每一新家庭成员的初始人力资本水平为家庭中旧成员既有人力资本水平的一个比例（但与旧成员不相等） 。这只是我强调的一般事实的一个例子：人力资本积累是项社会行为，他将人类群体包含进来的方式在物质资本积累中是找不到相似之处的。除了（11）至（13）式中所描述的技术变化议政和人力资本及其积累，此模型与索洛模型是完全相同的。系统是封闭的，人口以不变的速度增长，代表性家庭具有（1）式所描述的偏好。我们继续分析这一模型。当存在外部效应 时，最优增长路径与竞争均衡路径()raht不再一致，因此我们无法通过研究应用于索洛模型的假设规划问题而建立均衡。但是参照罗默对一个与之十分相似的模型的分析

11、方法，我们可分别得到最优路径和均衡路径，并对两者加以比较。所谓最优路径，我指的是在（11）和（13）式的约束下，并且在所有 t 期都满足的情况下，选择一组 、 、 、 及 以最大化效用函数()aht()Kth()Htc()ut（1）式。均衡路径则要复杂一些。首先假设 的路径是给定的，就像索洛模型中的外生技术路径()at。给定 ，考虑一个由原子型的家庭和厂商构成的私人部门。假设每一经济行为()At()aht人都预期人力资本的平均水平服从路径 ，则私人部门问题有解。也就是说，将()aht使做外生给定，在（11）和（13）式的约束下，选择 、 、 及 以最()at ()htk()ctu大化效用函数（

12、1）式。当路经 与 一致时因此真实行为和预期行为相同()tat我们说系统达到了均衡。“影子价格” 和 分别用来对物质资本和人力资本的增长估价，求解最优路径的1()t2t当期汉密尔顿函数为： 1112 1 2(,)()()(1)NHkhcutcAKuNhchu此模型中有两个决策变量消费 和用于生产的时间 。通过选择这两个变量（用t(t最有规划法）以最大化 H。一阶条件为：（14） = 及c1（15） 11 2()()AKuNhh商品的两种用途消费及资本积累边际价值必须相等，即（15）式。两种资本的影子价格 和 的变动率如下：12（16）. 11()Auh（17）.21 2(1)KNu则（11）

13、（13） （14）至（17）式以及此处我未写出来的两个横截性条件，隐含地描述了和 从任何初始混合状态开始的最优路径。()Kth在均衡中，私人部门要“解决” 一个本质上与上述形式相同的控制问题，但把（11）式的视作给定。市场出清要求任何 t 期 = ，因此同最优路径一样， （11） 、 （13） 、()rat ()aht（14） 、 （15） 、 （16）式是均衡的必要条件。但（17）式再此出不再适用：最优分配和均衡分配对人力资本的评价显然是不同的。对私人部门而言，在均衡中（17）式将被下式所替代：. 121 2()()(1)aAKuNhu由于市场出清要求任何 t 期都有 = ，因此上式可被写为

14、：t). 121 2()()(1)AKuNhu注意，若 ，则（17）和（18）式相同.正式由于外部效应 的存在,才导致社会评0 0价方程(17)和私人评价方程(18)式出现分歧。如同处理较简单的索洛模型一样，刻画最优路径和均衡路径的最简单的方法是从寻找两个系统的平衡增长解开始：此时消费和两种资本的影子价格以不变的速度下降，时间分配量不变。我们首先考虑最优路径和均衡路径的共同特征，暂时将（17）式和（18）式置()ut于一边。如前文，用 表示 ，则（14）和（16）式隐含地决定了资本条件的边际生产率：.()/ct（19） 11()AKuhNttk上式类似于（6）式。如在先前的模型中那样，很容易证

15、明在平衡路径上 必以()Kt的速度增长，且储蓄率 s 是不变的，其值由（10）式给定。在这些关于物质资本积累事实的推导过程中， 是选择的结果，还是象前面模型中的技术变化那样是个外生力()ht量并不重要。若我们在平衡路径上令 ，则显然由（13）式可得：.()/t（20） 对（19）式微分，可得到消费和人均资本的共同增长率 ：（21）(1)u 由于 以固定速度 v 增长，此处 的作用相当于外生技术变动率 在前面模()ht (1)型中的作用。我们现在转而考虑人力资本增长率 的决定因素，通过对一阶条件（ 14）式和（15）式微分，并消去 ，得到：（22）.1()/t.2()()k从现在开始，效率路径和均衡路径的分析开始分离。先来看效率路径，由（17）式和（15）式可得：（23）.21u然后从（20）式中解出 u 的表达式代入（23）式，再由（22）式和（23）式消去，并将 写成由 表达的形式，最后通过与（21）式联立，消去 而解出人力.2()/t 资本的效率增长率，我称之为 ：（24）*1()若模型沿着均衡路径，则（18）式取代了（17）式， （23）式也被下式所替代：（25）.2按照从（23）式中推导出效率增长率 的方法，我们可以从（25）式得到均衡增长率 ：* 11