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1、提高小学数学练习设计 有效性的研究（一）作者:曹培英 录入时间:2011-12-20 阅读次数:1835一、研究练习设计的意义这里所讨论的“练习”（常常也称之为作业），包括课堂练习与课前、课后练习。1.从数学教学的内容看：练习是数学教材的重要组成部分如果以课本的篇幅计，那么建国初学习前苏联编制的习题汇编式教材，课本即习题集。发展到今天，即便是讲究问题情境、追求学习过程的教材，各种练习大体上仍然占据了过半的篇幅。因此，钻研数学教材，很重要的一项内容就是研究其各类练习题的配备，吃透练习的设计意图，把握练习的实施要求，发现需要因班、因人制宜加以调整或补充之处。2.从数学教学的过程看：练习是数学学习必
2、不可少的环节何谓“学习”？中国式的经典回答是“学而时习之”。任何学科的学习，都需要“时习之”，都离不开练习过程。数学更是如此，早就有“学数学”就是“做数学”的说法。事实上，整个数学课堂教学，不仅课课有练习，而且还有专设的练习课。过去，小学数学课堂教学总体上是练习课多于新授课，新授课上也常常是练习时间多于新授时间。但现在，情况出现了逆转，新授课多于练习课、新授时间多于练习时间成了不争的事实。谁都知道，“教”是为了“学”，教是因为需要教。但不知不觉间，我们变得更喜欢“教”了，这无疑与课改的初衷背道而驰。其原因是多方面的，课程标准与教材、教师与教学，都有值得探讨的问题，有待另文专题研讨。对于本文来讲
3、，这一现象也从另一侧面，向我们提示了当前深入研究练习设计的现实意义。3.从数学教学的改革看：练习还能成为获取数学知识的有效手段“做数学”，过去主要指“做”题目，现在趋向回归“做”的本意，即制造、从事某种工作或活动的意思，从而将“做数学”视为数学活动的教学，以主体作用于客体的方式，让学生与周围的世界（包括教材、教师、同学以及客观的现实世界）发生作用，亲自动手去解决呈现在他们眼前的问题，在这个过程中获取数学知识，发展数学能力。其实，学习历来有两类方式，一类是“书中学”，一类是“做中学”。通过练习的“做”同样可能“学”到新知识。试举一例。在 32，42，45，130，144，147，158，159
4、这八个数中：（1） 能被 2整除的数有（）；（2） 能被 3整除的数有（）；（3） 能被 6整除的数有（）；（4） 你发现了什么？你能总结出能被 6整除的数的特征吗？显然，整个题组的知识背景都是数的整除特征，前两小题是能被 2、3 整除的数的特征的巩固练习，而后两小题则是在此基础上的拓展练习，并有明确的探究指向。有的学生受到前两小题练习的“暗示”，解答第（3）小题时就去寻找能同时被 2、3 整除的数；也有学生先想到整除概念，用 6去除八个数，看余数是否为 0，然后在回答第（4）小题时才联想到能被 2、3 整除的特征。两种情况都能使学生通过练习的“做”，获得一种新知识能被 6整除的数的判断法则。
5、诸如此类的练习，以前并非没有，在期望改进、完善学生学习方式的今天，更应受到重视。这对真正发挥学生学习数学的主体性，扭转教师“喜欢”教的局面也有裨益。此外，就社会对学校教育的“减负增效”呼声来说，学生回家作业的状况是家长们感受孩子学习负担重的主要来源之一，这也是政府主管部门每次出台“减负”举措，都少不了重申限定家庭作业时间的直接原因。因此，研究、提高练习设计的有效性又是实现“轻负高质”教育的重要一环。二、数学练习的功能一般地，练习具有促进理解、巩固所学知识，形成技能、发展能力的功能。这是泛学科的共识。为了切实提高数学练习的有效性，一方面，必须明确“有效”的确切含义。在现代汉语词典中，“有效”是指
6、“有效果”、“能实现预期的目的”。在本文中，意指学生通过练习获得进步或发展。具体地：一是“有效果”，练习达成了预设的进步或发展目标；二是“有效率”，付出特别是时间的付出，比较经济；三是“有效能”，练习的潜在导向符合教育的价值追求。另一方面，对于练习的功能，仅仅停留于教育学层面的“概论”是不够的，还需要深入学科教学法层面，针对小学生与数学的特点，具体揭示小学数学练习的各项功能。换句话说，在探寻改进措施之前，有必要明确小学数学练习的有效性究竟体现在哪些方面。1.理解概念小学数学概念是学科基础知识的重要组成部分，同时，作为思维的基本形式之一，概念又是判断和推理的起点。所以，理解概念对于小学生掌握数学
7、基础知识和发展思维能力起到重要的作用。记忆中，上世纪 80年代评的数学特级教师，无论是中学还是小学，他们的经验总结，第一条几乎都是关于加强概念教学的做法与心得。这是我国数学教学应该继承与发扬的传统。在小学，明确给出定义的数学名词、术语是相当有限的，更多的是基于数与形的认识形成的概念。以万以内数的认识为例，促进学生理解数概念的练习，可以从直观化、生活化或形式化等角度着眼设计。例如：（1） 看图写数。（数概念直观化的练习） 写作（）（2） 你知道全校学生做早操，操场上有多少人吗?告诉你，大约 1000人。想一想，（）个这样学校的学生集中在一起，才有一万人。（数概念生活化的练习）（3） 读一读，填一
8、填。（数概念形式化的练习）6789 读作（）千（）百（）十（）；6789 是由（）个千、（）个百、（）个十和（）个一组成的。6789=1000（）+100（）+10（）+1（）。其实，上面三道，在帮助学生理解数概念的同时，也都有助于学生形成数感。概念的理解，还可以通过应用加以深化。例如：一个正方体木块，表面涂漆，再切割成 1000个小正方体（如右图）。三面有漆、两面有漆、一面有漆的各有多少块？三个问题正好对应正方体的顶点、棱与面的概念。基于概念，可以直接写出答案或找到列算式的思路：三面有漆的在大正方体的顶点处，有 8块；两面有漆的在大正方体的 12条棱上（端点除外），有（102）12 块；一面
9、有漆的在大正方体的 6个面上（四周除外），有（102）26 块。反过来，通过练习又能进一步理解相关概念。比如，正方体的顶点不仅是三条棱的交点，也是三个面的交点，等等。2.掌握法则这里的法则，包括数的大小叭较、数的互化、数的四则计算以及几何”求积“等的方法，其中大多需要通过练习使学生熟练掌握。以数的四则计算为例，除了常规的计算练习题外，还可以根据需要设计一些针对掌握法则的关键或难点的辅助练习，帮助学生在理解的基础上掌握计算法则。试举两例。分数除法：6/75/8=6/7( )/( )8/93/4=8/9( )/( )这是针对分数除法计算最为关键的步骤”颠倒相乘“设计的专项练习。退位减法：计算 10
10、00678，通常是把 1000分成（）个百、（）个十和（）个一。此题采用填空的形式，将被减数中间有 0时的连续退位过程加以展开，以帮助学生理解其内在机制。实践表明，这样切中”要害“的辅助练习，练在刀刃上，对于突破关键、难点有着明显的效果。3.形成技能按照心理学的观点，操作技能（也叫动作技能）的典型特征为：操作活动的对象为具体物质客体；操作动作由外显的肌体运动来实现；其活动结构是展开的。在数学的技能中，具备如此特征的单纯操作技能，如数字的书写、计算器的操作等，是不多的。诸如口算、笔算、代入公式求值等，都属于特殊的智力技能。但由于这些特殊的智力技能，常常表现为通过练习形成和巩固起来的符合法则的随意
11、运动方式，甚至可以不假思索地表现出来，因此常被归入操作技能范畴。这似乎有悖心理学的分类，但也不是没有一点道理。本来，操作技能与智力技能总是协同活动的，操作技能是智力技能形成的基础，而智力技能则是操作技能的调节者。如同书法，本是两种技能的完美融合。展开学究式的争辩，这里主要讨论练习对于一般智力技能与特殊智力技能的作用。前者是指认识活动的技能，包括观察技能、思维技能、想象技能等；后者是在专门领域中形成并发展的智力技能。我们的追求是促进学生两种智力技能的和谐发展。例如，求右图中涂色部分的面积（尺寸略）。这是一个组合图形，表面看需要分解为三个基本图形，要求不低，但其组合关系一目了然，解答过程中只要凭记
12、忆再现三个公式，代入相加即可。对于基础较好的学生，观察技能的发挥有限，更缺少思维含量，因而主要是特殊智力技能的操作训练。改变练习呈现方式，给出同样尺寸的三角形、长方形、正方形纸片，一面涂色，请学生用这三个图形拼成一个图案，求涂色部分的面积。改编后，练习效果就大不一样了。学生拼出了多种组合图形，既有相加组合，又有加减组合，思维技能、想象技能都调动起来了。几乎是同样内容的练习，改变呈现方式之后，思维、想象的空间被扩展了，经过交流，共享个人创意，同时也开拓了思路。4.激发潜能现代医学心理学认为，由于各种复杂的内部和外部原因，人的大脑机能存在一种抑制现象，使得人们长期难以察觉自己的能力。在意想不到的强
13、刺激条件下，这种抑制被解除，蕴藏在人体内的潜能会爆发出来，产生一种神奇的力量。有科学家指出，人的能力有 90以上处于休眠状态，没有开发出来。*数学练习能否解除抑制、刺激潜能呢？仍以面积计算为例：你能设计一个面积是 6平方厘米的平面图形吗？请画出草图（单位：厘米），看看谁的设计与众不同。多数学生画了单独一个图形，有长方形、平行四边形、三角形、梯形，基本都符合要求。部分学生画了组合图形，与众不同的如以下三个图形：交流时，第三幅图的设计者还介绍了怎样利用等底等高的三角形面积相等的知识，把三个三角形合并成一个三角形的算法，如右图。可见，具有一定开放性的练习，若能处在学生的最近发展区内，就有可能激活学生
14、的自信、自觉，释放出个体的潜能，同时让教师也有机会受学生的启发，教学相长。5.探究学习如前所述，选择适当的数学知识背景，开发具有一定学习指向的练习题，可以让学生边练习、边探究，以发挥练习的探究学习功能。此外，也可以选择一些有趣的数学内容，设计成探究性练习。例如，计算与探究相结合，比较典型的如所谓的“数字黑洞”。下面试举一例。（1） 用三个不同的数字组成最大数和最小数，相减；（2） 用差的三个数字组成最大数和最小数，相减；（3） 反复进行下去，你发现了什么？有教师将上面的练习开发成多位数减法的练习课，让学生在兴趣盎然地反复练习退位减法的同时，经历数学探究的训练。事实上，上面的练习还可进一步开发。
15、例如：天文学家认为宇宙有一种星体叫“黑洞”，它具有非常大的质量和吸力，如果星体经过它的吸力范围，就被吸进去再也不能出来。通过上面的练习，你已经发现了数学世界里三位数的一个“黑洞”。你有兴趣继续探究吗？（1） 得到三位数的这个“黑洞”，最多需要做几次减法？（2） 用四个不同的数字组成最大数和最小数，相减；反复进行下去，你能找到四位数的“黑洞”吗？6.培养习惯小学教育很大程度上是一种养成教育，数学教学也不例外。所谓“优秀”，在某种意义上就是“习惯”。培养学生良好的学习习惯，是各学科教师不可推卸的共同任务。通过数学练习，除了可以培养认真作业、端正书写等一般的良好学习习惯之外，还可以培养数学特有的良好
16、学习习惯，如仔细计算、自觉检验等。从练习设计的角度看，我们可以设计一些学生必须仔细观察、检查、分辨才能解答的练习，以及专门练习验算的习题。这些练习的主要功能是强化认知，即强化对习惯内涵的认知，如检查、验算的方法和要点等。当然也能获得检查、验算等的体验，但真正形成习惯，主要依靠学生平时练习时有意识的关注，也需要教师经常性的提醒，尤其是以身作则的垂范。7.渗透教育这里面包括思想品德教育，也包括数学思想、数学美育的渗透。以思想品德教育为例，一位教师在教学平均数的过程中，根据本校抗震救灾捐款过程中的真实情况，设计了如下练习题：汶川地震后， 各班同学积极捐款。五（2）班有同学 23人， 1 人病假，实到 22人，平均每人捐款 82元。他们得知，五（1）班平均每人捐款 83元，那么病假的同学要捐多少元，他们班的平均捐款数才能和五（1）班相同*？该教师关注了学科德育
