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1、简短的说明每一门学科，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来孜孜追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富；在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。收获与播种，第20页距离草稿发出也有一段时间了，这期间收到了很多建议，包括对排版、题目链接、题目的选择等，所以对文档又做了进一步的修改和完善。就内容上来说，这次修改了已经发现的许多错误，并且增加了一些题目，但仍有不足，请读者批评指正。在形式上也添加了新元素链接。关于题目链接的重要说明，这个版本增加了原题在博士家园的链接
2、，由于有些题目我搜集时是记在笔记上的，所以一些题目的链接找不到了（期待找到链接的同学把链接发来，帮助文档更加完善，在此先谢谢大家了！）。注意到链接的格式都是固定的，只有“tid=”后面的数字是改变的,所以给出了每题的tid，只要点击tid即可直接链接到原题。这个文档在整理过程中得到了很多论坛里同学和老师的帮助，包括在排版、提供题目、指出错误等等，在此特别表示感谢。我个人所做的工作只是在他人智慧的结晶下，搜集整理题目和文档排版。如对题目的解答有任何疑问，请直接到论坛发帖或者找到原帖大家一起讨论学习。Email:2011.12.21极限大自然并不被分析的困难所阻碍。Augustin Fresnel
3、1. limn1(2n1)2011n1k=0 (2k+1) 2k x2010 sin3 xcos2 xdx (tid=20850)1解.根据推广的积分第一中值定理，对每个正整数n n (0;1)使得 (2n+1) 2n x2010 sin3 xcos2 xdx = (2n + n) )2010 (2n+1) 2n sin3 xcos2 xdx由此得 (2n+1) 2n x2010 sin3 xcos2 xdx=(2n )2010 + o(n2010) 2n + 2n sin3 xcos2 xdx=(2n )2010 + o(n2010)(cos5x80 cos3x48 cosx8) (2n+1
4、) 2n = 415(2n )2010 + o(n2010) (n )另外(2n + 1)2011 (2n1)2011 = 4022(2n)2010 + o(n2010) (n )根据Stolz定理limn1(2n1)2011n1k=0 (2k+1) 2k x2010 sin3 xcos2 xdx= limn (2n+1) 2n x2010 sin3 xcos2 xdx(2n + 1)2011 (2n1)2011= 230165 limn(2n )2010 + o(n2010)(2n)2010 + o(n2010)= 2 201030165此题的更一般结果为limn1(2n1)p+1n1k=0
5、 (2k+1) 2k xp sin3 xcos2 xdx = 2 p15(p + 1)(p 0)1不知道这是什么？,请看简短的说明。2 1极限2. f0(x)在0;1上可积, f0(x) 0;fn(x) =x0fn1(t)dt; (n = 1;2;:),求limnfn(x):解.设0 0,所以f1(x) =x0f0(t)dt是区间0;1上的连续函数，故存在正数m;M,使得f1(x) M (x 0;1)f1(x) m (x ;1)对任一自然数n,用数学归纳法可以证明如下不等式m 12n an(x )1 12n fn+1(x) M 12n anx1 12n (1)其中an = ( 222 1) 1
6、2n 1 ( 2223 1)12n 2 (2n12n 1)12当n = 1时,有f2(x) =x0f1(t)dt M 12x112 = M 12a1x112设n1时结论成立,则对n有fn+1(x) =x0fn(t)dt M 12n a12n1x0t1 12n 1 dt= M 12n a12n1 2n 12(2n 1)12 = M12n anx112n故(1)式右边的不等式对一切自然数n都成立,同理可证左边的不等式亦真.因为lnan = 12n1 ln 222 1 + 12n2 ln 2223 1 +12 ln2n12n 1 (n = 1;2;)所以根据特普利茨定理（容易验证此时条件全部满足）有
7、limn+lnan = limn+ln 12 12n1= ln 12于是limn+M 12n anx1 12n = x2 limn+m 12n an(x )1 12n = x 2由 的任意性即知对任一切x (0;1有limn+fn+1(x) = x2又因fn+1(0) = 0 (n = 1;2;)所以对一切x 0;1有limn+fn+1(x) = x21极限33. limnnsin 2n sin 2 2n sin n 2n1解.limnnsin 2n sin 2 2n sin n 2n= explimn2nk=1lnsin k 2n2n= exp(2 20lnsinxdx)= 124. lim
8、ntan( n2 + 6n11) + 4sin( 4n2 + 8n11)(tid=14858)解.tan (n2 + 6n11) = tan( n2 + 6n11n )n2 + 6n11n = 611nn2 + 611n +n2考虑下列不等式611n1n2 + 611n +n2 611nn2 + 611n +n2 611n2n 311当n ,左边等于311故limntan( n2 + 6n11) = tan 311 同样的方法，可以计算出limnsin( 4n2 + 8n11) = sin 211 对于tan 311 + 4sin 211 = 11的计算，这里不再给出。5. limn+(23)
9、 12n 1 (47) 12n 2 ( 2n12n 1)12 (tid=20244)1对于 20lnsinxdx的计算,参见积分(8)4 1极限解.令xn = (23) 12n 1 (47) 12n 2 ( 2n12n 1)12则lnxn = 12n1 ln 23 + 12n2 ln 47 + 12 ln 2n12n 1= 12n1(ln 23 + 2ln 47 + 2n2 ln 2n12n 1)应用Stolz公式求极限limnlnxn = limn2n2 ln 2n 12n12n1 2n2= limnln 12 12n 1= ln 12故limnxn = limn(23) 12n 1 (47
10、) 12n 2 ( 2n12n 1)12 =126. an 0;且an+1 1an+1= an + 1an(n 1),求limn1nnj=11aj (tid=15490)解.假设0 1)令S =ni=1ln(1 + in2), 1则ni=1in2 + i 0，故存在xa (0;1)，使得aeax22 x 1 0(1x)ex eax22 (x 0;xa) limnn 10ex(1x)ndx limn xa0nenax22 dx= 2a因为a是任意的，所以limnn 10ex(1x)ndx 21极限7综上得limnn 10ex(1x)ndx = 2解法二.* (1 + n + n2n! +nnn!
11、 ) = en n0et(nt)nn! dtnt=x= en en n0xnexn! dx两边除以en) an = 1 n0xnexn! dx下面求limn n0xnexn! dx令 = n12+z;0 2 ,这时记 = y0 y20 42 ,此时y0 = +1.一般地，yn = 2n + 2n; n N因此y0y1y2 yn = ( + 1)( 2 + 2)( 22 + 22)( 2n + 2n)10 1极限= 2n+1 2n+1 1= 2 1 2n+2 12n+1故1y0y1y2 yn =2 12n+12n+2 1= 2 12n+1 + 112n+2 1= 2 1(12n+1 1 12n+
12、2 1)因此Sn =nk=01y0y1y2 yk=nk=02 1( 12k+1 1 12k+2 1)= 2 1( 12 1 12n+2 1)注意到 0(i = 1;2; ;n) ,求limx+(ax1 + ax2 + axnn)1x解.记 = maxa1;a2; ;an,当x 0时axk x (k = 1;2; ;n)xn ax1 + ax2 + axnn n xn = x从而n1x (ax1 + ax2 + axnn)1x 又limx+n1x = 1有迫敛性知limx+(ax1 + ax2 + axnn)1x= 14.设数列an满足级数|a1| + |a2| + + |an| + 收敛,证明
13、：limp(|a1|p + |a2|p +|an|p +)1p的极限存在,并求之. (tid=20567)证明.记|a|p = (|a1|p +|a2|p +|an|p +)1p ; (p 0)由于|a1|+|a2|+|an|+收敛所以limn|an| = 0;sup|an|存在易证|an|a|q (q 1;n = 1;2;3;),于是sup|an|a|q对1 0和k N有 0sin xx dx =2 (3)sin2k x = 122k1k1i=0(1)k+iCi2k cos2(ki)x + 12Ck2k(4)sin2k+1 x = 122kki=0(1)k+iCi2k+1 sin(2k2i
14、+ 1)x (5)其中Ckn = n!(nk)!k!表示组合数下面几个组合恒等式可以看做定理1的副产品，它们使得可以在定理1的证明中使用LHospital法则引理2.设1 m k和k N则k1i=0(1)k+iCi2k + 12Ck2k = 0 (6)ki=0(1)i(2k2i + 1)2m1Ci2k+1 = 0 (7)设1 l k1和2 k N，则k1i=0(1)i(ki)2lCi2k = 0 (8)14 2积分证明.根据三角函数幂公式(4)不难得到limx0k1i=0(1)k+iCi2k cos2(ki)x + 12Ck2kx2k1 = 22k1 limx0sin2k xx2k1 = 0从而k1i=0(1)k+iCi2k cos2(ki)x + 12Ck2k = o(x2k1) (当x 0)因此0 = limx0k1i=0(1)k+iCi2k cos2(ki)x + 12Ck2k =k1
