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1、分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 1 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一 智愛高中數學 函数值域求法十一种在 函 数 的 三 要 素 中 ， 定 义 域 和 值 域 起 决 定 作 用 ， 而 值 域 是 由 定 义 域 和 对 应 法 则 共 同 确定 。 研 究 函 数 的 值 域 ， 不 但 要 重 视 对 应 法 则 的 作 用 ， 而 且 还 要 特 别 重 视 定 义 域 对 值 域 的 制约 作 用 。 确 定 函 数 的 值 域 是 研 究 函 数 不 可 缺 少 的 重 要 一 环 。 对 于 如 何 求 函 数 的 值
2、域 ， 是 学生 感 到 头 痛 的 问 题 ， 它 所 涉 及 到 的 知 识 面 广 ， 方 法 灵 活 多 样 ， 在 高 考 中 经 常 出 现 ， 占 有 一定 的 地 位 ， 若 方 法 运 用 适 当 ， 就 能 起 到 简 化 运 算 过 程 ， 避 繁 就 简 ， 事 半 功 倍 的 作 用 。 本 文就 函 数 值 域 求 法 归 纳 如 下 ， 供 参 考 。 1. 直 接 观 察 法对 于 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ， 其 值 域 可 通 过 观 察 得 到 。1. 求 函 数 xy的 值 域 。解 ： 0显 然 函 数 的 值 域 是 ： ),0(),(U2
3、. 求 函 数 x3y的 值 域 。解 ： 0,故 函 数 的 值 域 是 ： 3,2. 配 方 法配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。3. 求 函 数 2,1x,52y的 值 域 。解 ： 将 函 数 配 方 得 ： 4)( ,1x由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 ： 当x=1时 ， ymin， 当 1x时 ， 8ymax故 函 数 的 值 域 是 ： 4， 8分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 2 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一 3. 判 别 式 法4. 求 函 数 2x1y的 值 域
4、。解 ： 原 函 数 化 为 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 0x)1y()(2（ 1） 当 时 ， R 412解 得 ： 23y（ 2） 当 y=1时 ， 0x， 而 23,故 函 数 的 值 域 为 23,15. 求 函 数 )2(的 值 域 。解 ： 两 边 平 方 整 理 得 ： 0yx)1(2（ 1） Rx 0y8)1(42解 得 ： 但 此 时 的 函 数 的 定 义 域 由 )x(， 得 2x0由 0， 仅 保 证 关 于 x的 方 程 ： 0y)1(2在 实 数 集 R有 实 根 ， 而 不 能确 保 其 实 根 在 区 间 0， 2上 ， 即 不 能 确 保 方 程 （
5、1） 有 实 根 ， 由 求 出 的 范 围 可 能 比 y的 实 际范 围 大 ， 故 不 能 确 定 此 函 数 的 值 域 为 3,。可 以 采 取 如 下 方 法 进 一 步 确 定 原 函 数 的 值 域 。 2x00)(y1,min代 入 方 程 （ 1）解 得 ： 2,2x4即 当 1时 ，分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 3 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一 原 函 数 的 值 域 为 ： 21,0注 ： 由 判 别 式 法 来 判 断 函 数 的 值 域 时 ， 若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实 数 集 时 ，
6、 应 综 合 函 数的 定 义 域 ， 将 扩 大 的 部 分 剔 除 。4. 反 函 数 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 通 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域 来 确 定 原 函 数 的 值 域 。6. 求 函 数 6x543值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 3y564x则 其 反 函 数 为 ： ， 其 定 义 域 为 ： 53x故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 5,5. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ， 反 客 为 主 来 确 定 函 数 的
7、值 域 。例 7. 求 函 数 1eyx的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： y 0ex 01解 得 ： 1y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ),(8. 求 函 数 3xsincoy的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： y3xcosiy， 可 化 为 ：)(i12即 1yxsn2分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 4 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一 Rx 1,)(sin 即 1y32解 得 ： 42y故 函 数 的 值 域 为 4,6. 函 数 单 调 性 法9. 求 函 数 )10x(log35x的
8、值 域 。解 ： 令 y,21则 ,y在 2， 10上 都 是 增 函 数所 以 在 2， 10上 是 增 函 数当 x=2时 ， 81log3min当 x=10时 ， 9y5ax故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,8110. 求 函 数 xy的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 为 ： 12令 ,121， 显 然 2y,在 ,上 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 y， 在 上 也 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 当 x=1时 ， 21y有 最 小 值 ， 原 函 数 有 最 大 值 2显 然 0， 故 原 函 数 的 值 域 为 ,0(7. 换 元 法通 过 简 单 的
9、换 元 把 一 个 函 数 变 为 简 单 函 数 ， 其 题 型 特 征 是 函 数 解 析 式 含 有 根 式 或 三 角函 数 公 式 模 型 ， 换 元 法 是 数 学 方 法 中 几 种 最 主 要 方 法 之 一 ， 在 求 函 数 的 值 域 中 同 样 发 挥 作 用 。分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 5 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一 11. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ： 令 t， )0(则 2 43)21t(ty又 0t， 由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 当 0t时 ， 1ymin 当 0t时 ，
10、 y故 函 数 的 值 域 为 ),12. 求 函 数 2)1x(2xy的 值 域 。解 ： 因 0)(即 12故 可 令 ,cosx 1cosiny2 1)4sin(2450,21)4sin(20故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,013. 求 函 数 1x2y43的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 22x1y可 令 tg， 则 有 2cos,sinx1分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 6 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一 4sin12cosin21y当 8k时，ymax当 82k时 ， 41ymin而 此 时 ta
11、有 意 义 。故 所 求 函 数 的 值 域 为 41,14. 求 函 数 )x)(cos(siny， 2,1的 值 域 。解 ： 1sicsxi令 ton， 则 )t(2xcoin2)1t(2t)1t(y由 4/sixcosin且 ,1x可 得 ： t 当 2t时 ，23ymax， 当 时 ， 243y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,4。15. 求 函 数 2x5y的 值 域 。解 ： 由 02， 可 得 |故 可 令 ,cosx4)sin(10i545y 0分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 7 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一
12、45当 /时 ， 10ymax当 时 ， in故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 4,58. 数 形 结 合 法其 题 型 是 函 数 解 析 式 具 有 明 显 的 某 种 几 何 意 义 ， 如 两 点 的 距 离 公 式 直 线 斜 率 等 等 ， 这类 题 目 若 运 用 数 形 结 合 法 ， 往 往 会 更 加 简 单 ， 一 目 了 然 ， 赏 心 悦 目 。16. 求 函 数 22)8x()(y的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 简 得 ： |8x|2|y上 式 可 以 看 成 数 轴 上 点 P（ x） 到 定 点 A（ 2） ， )(B间 的 距 离 之 和 。由
13、 上 图 可 知 ， 当 点 P在 线 段 AB上 时 ， 10|A| 当 点 P在 线 段 AB的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ， |B8xy故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,1017. 求 函 数 5x43x6y22的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 2222 )10()()0()( 上 式 可 看 成 x轴 上 的 点 ,P到 两 定 点 ,B,3A的 距 离 之 和 ，由 图 可 知 当 点 P为 线 段 与 x轴 的 交 点 时 ， 43)12()3(|ymin ，故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,43分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 8 页 （共 11 页） 2018 年 2 月 5 日星期一 18. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 ： 将 函 数 变 形 为 ： 222)10()()0()( 上 式 可 看 成 定 点 A（ 3， 2） 到 点 P（ x， 0） 的 距 离 与 定 点 ,B到 点 ,xP的 距 离 之 差 。即 ： |B|Py由 图 可 知 ： （ 1） 当 点 P在 x轴 上 且 不 是 直 线 AB与 x轴 的 交 点 时 ， 如 点 ， 则 构 成 ABP，根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ， 有 26)1()2
