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1、 一道课本例题探究性学习的教学设计及反思摘 要：充分发挥教材的功能，引导学生开展探究性学习，是新课程的要求之一，也是发展学生探究能力的手段。本文就以此为本略做介绍。关键词：探究性学习；教学设计；反思本文以高中教材（必修第二册，上）第 118 页的例 3：“斜率为1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点且与抛物线相交于 a、b，求线段 ab 的长.”的教学为例，谈谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习。一、例题教学设计1.分步推进，引导学生探究解法出示例题并让学生认真阅读，然后画出草图。师：请同学们认真分析题目中的条件和结论信息，讨论后拿出解题方案。求线段 ab 的长，你有哪些方法？生 1：两
2、点间的距离公式。先写出直线 ab 的方程，再求出交点a、b 的坐标，从而求出线段 ab 的长。生 2：利用圆锥曲线的弦长公式。利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，减少了运算量。生 3：利用过抛物线焦点的弦公式。过点 a、b 两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足为 a、b，根据抛物线的定义，把线段af 与 bf 转化为线段 aa和 bb求解。师：把你们的想法所对应的图形画在黑板上。 （之后老师用多媒 体补充演示）（下面请三位同学板演三种解法。 ）师生共同小结：对于过抛物线焦点的直线被抛物线所截得弦长的求法，解法一虽然思路清晰，易于理解，但运算量较大。解法二是常见的，并能推广
3、到任意二次曲线。而解法三在抛物线中显得更为灵活而高效。所以应熟记并掌握抛物线的焦点弦长公式及运算。2.学以致用，拓展延伸，探究焦点弦的内涵（1）逆向变换问题 1.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=2px（p0）的焦点与抛物线相交于 a、b，线段 ab 的长为 8，求 p 的值.由于有了例 3 的解题体验，学生们不约而同地选择了思路 3 的解法，得 p=2。（2）条件不变，结论变换问题 2.过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 f 的直线与抛物线交于a（x1，y1） 、b（x2，y2）两点，求证：y1y2=-p2；x1x2=；以弦 ab 为直径的圆与准线相切.生 4：利用求焦点弦的解法二。先设
4、出直线斜率为 k，写出过焦点 f 的直线的方程 y=k（x-） ，再将 x=代入 y=k（x-） ，构造一个以y1，y2 为根的一元二次方程 ky2-2py-kp2=0，从而由韦达定理得出 y1y2=-p2。师：这一证法无懈可击吗？请大家互相讨论，仔细推敲。 生 5：当 k 不存在时，也要加以证明。吃一堑，长一智。在（2）的证明中同学们注意了“陷阱” ，顺利地得写出了证明过程。经过讨论，学生利用方法三，对（3）给予了证明。此时，同学们个个好像是凯旋的勇士，积极性很高。（3）恰当增加条件，变换结论问题 3.过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 f 的直线与抛物线交于a（x1，y1） 、b（x2，
5、y2）两点，若点 a、b 在抛物线准线上的射影分别为 a1、b1，求证：a1fb1f.师：要证明 a1fb1f，你们有哪些方法？生 6：利用斜率之积为-1 进行证明。即：a1（-，y1） ，b1（-，y2）k1k2=-1，所以 a1fb1f。生 7：还可以利用解法三，af 与 bf 转化为线段 aa1 和 bb1，根据三角形的内角和定理可得a1fb1=90。（4）归纳小结请同学们总结有关抛物线焦点弦的一些有用的结论。二、反思1.数学教学应将例题作为数学知识与方法生长的土壤美国著名数学家波利亚指出：“一个专心认真备课的教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道
6、题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领 域。 ”这说明了例题的数学价值是多么的重要！一个好的例题不仅强化基础知识的应用，而且展现着重要的数学思想方法，还隐含着重要知识。从此意义上看，一道好的例题就是重要方法与知识的载体和生长的土壤。因此，例题教学不能就题论题，教师应借助例题为学生学习创设探究情境，对具有典型的例题要引导学生“小题大做” “借题发挥” ，这样使例题更富有积极的教学价值与意义。2.例题教学应创设情境，诱导学生主动探究在探究性学习教学中，教师只是选择活动素材，设计教学过程，激励学生从事数学活动的课堂组织者，学生才是探究性学习舞台上的主角。因此教师一方面要给学生提供足够的思维时间和空间，另一方面要创设宽松和谐的学习环境，激励学生人人参与，不断激发他们学习的创造性和主动性。3.适当植入高考资源，激活课堂教学“实用空间”许多中低档高考题都源自于课本或是由课本习题演变而来，因此在教学中，适当植入相应的高考资源，对激发学生的学习兴趣，熟练掌握“双基”将起到积极的作用。同时防止学生在课本和辅助资料之间舍本逐末，大搞题海战术，忽视数学思想方法的形成和数学能力的提高。（作者单位 甘肃省临夏回民中学）注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以 pdf 格式阅读”
