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1、场 论（为什么要引入场论？）从科学、技术角度来考察地面沉降的在空间地分布与变化规律,为了揭示与探索这些规律，在我们的研究中就引入了场的概念。一、场1.场的概念数量场、矢量场稳定场、不稳定场2.数量场的等值面u（x,y,z）=c(c 为常数 ) 几何上表示一个曲面，称为数量场的等值面。3.矢量场的矢量线矢量线是一条曲线，在它上面的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。已知矢量场 A=A(x,y,z),怎样求出矢量线的方程？矢量线所满足的微分方程，解之，可得到矢量线族；再利用过 M 点这个条件，即可求出过 M 点的矢量线。二、数量场的方向导数与梯度1.方向导数在数量场中,数量 u=u(M)的分布
2、状况,可以借助等值面( 线)来进行了解,但是这只能了解到数量 u 在场中的总的分布情况,是一种整体性的了解, 而研究数量场的另外一个重要方面 ,就是还要对它作局部性的了解,即还要考察数量 u 在场中各个点处的领域内沿每一个方向得变化情况, 为此引进方向导数的概念。(1)定义函数 u（M）在点 处沿 方向的方向导数，记作方向导数是函数 u(M)在某一点处沿某一方向对距离的变化率。(2)方向导数的计算公式2梯度方向导数给我们解决了函数 u（M）在给定点处某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数 u（M ）沿其中的哪个方向其变化率最大呢，最大的变化率又是多少呢？这是在实际问
3、题中常常要探讨的问题，为了解决这个问题引入了梯度概念。(1)梯度的定义。(2)梯度性质1）方向导数等于梯度在该方向上的投影。2）数量场中每一点 M 处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数 u（M）增大的方向。把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来，就得到一个矢量场，称为由此数量场产生的梯度场。（3）哈米尔顿（Hamilton）算子，矢性微分算子。(4)梯度运算的一些基本公式三、矢量场的通量与散度1.通量（1）通量的定义设有矢量场 A(M),沿其中某一有向曲面 S 的曲面积分，叫做矢量场 A(M)向正侧穿过曲面 S 的通量。通量是可以叠加的。在直接坐标系中，设又通量可写成(2)通量为正
4、，为负，为零时的物理意义。2.散度在矢量场 A（M）中，对于穿出闭曲面 S 的通量 ，我们可以视其为正或为负得知 S 内有正源或负源。但仅此还不能了解源在 S 内的分布情况以及源的强弱程度等问题，为了研究此问题，我们引入矢量场的散度概念。（1）散度的定义散度 divA 为一数量，表示场中某一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对于一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。表示无源场。（2）散度在直角坐标系中的表达式。散度的定义是与坐标系无关的。在直角坐标系中，矢量场 A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在任意一点M（ x,y,z）处的散度为(3)散度运算的基本公式。四、矢量场的环度与旋度1.环度（1）环量的定义设有矢量场 A（M） ，则沿场中某一封闭的有向曲线 l 的曲线积分叫做此矢量按所取方向沿曲线 l 的环量。在直角坐标系中环量可以写成(2)环量面密度2.旋度（1）旋度的定义或斯托克斯公式可写成如下的矢量形式：
