循环平稳过程以与信号处理理论

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1、循环平稳过程以及信号处理理论绪论 通信、遥测、雷达、声呐等系统中许多信号，其统计特征参数是时间变化的，这类信号称为循环平稳信号(cyclostationary signal) 例如调制信号，雷达扫描信号， 还有一些自然的，如水文数据，海洋数据，人体心电图等都具有循环平稳性质。 W. A. Gardner*的谱相关理论是标志循环平稳信号处理理论的成熟，其数学工具是循环相关函数与循环谱相关函数。 *W. A. Gardner, L. E. Franks, Characterization of cyclostationary random signal processes, IEEE Trans

2、Information Theory, 21: 4-14, 1975. F. Chapeau-Blondeau, X. Godivier; Theory of stochastic resonance in signal transmission by static nonlinear systems; Physical Review E 55, 1478-1495 (1997). X. Godivier, F. Chapeau-Blondeau; Noise-assisted signal transmission by a nonlinear electronic comparator:

3、Experiment and Theory; Signal Processing 56, 293-303 (1997). F. Duan, F. Chapeau-Blondeau, D. Abbott; Noise-enhanced SNR gain in parallel array of bistable oscillators; Electronics Letters 42, 1008-1009 (2006).2.1 一般理论框架（动态静态系统都适合）强调我们的系统划分规则静态指无记忆系统，而动态指有记忆的系统。这里设任意一系统的输入为 ， 表示周期为 的周期信)()(tstxssT号，

4、而 是稳态随机噪声。)(t我们把系统输出 看成是它的非稳态均值 与围绕均值的稳定波动)(ty)(tyE的与，即)(ty 2-1)()(tyEty由于输入信号 的周期性，系统输出 一般也是周期为 的循环平稳)(ts sT信号，非 稳态均值 是周期 的确定性信号，那么引入傅里叶变换系数yEsT nY2-2dtTnjtyYssn )2exp()10这里整数 ，表示了谐波频率倍数。 为计算自相关函数，固定时间 与时,.210n t间延迟 ，得二阶非稳态相关函数2-3)()()( tyEtyEtyE此期望函数含有两个变量时间 与时间延迟 ，同 样具有周期性。为构造稳态的自相关函数，我们进行时间平均可以得

5、到 的自相关函数)(ty)(yR2-4dtEtTCRsyy0)(1)(其中，自协方差 为)(y2-5dtytTsy0)(1那么，依据维纳辛钦定理， 的功率谱密度 ,即是 的傅里叶变换)(tvPy)(yR2-6(snyy TnYCFvP其中 dedteYTdetyEt vjjkjntjs vjktjTtjns vjs sTksTksTsTksT 2202)(201()1 由Parseval定理，当 时，k*202|1nnTtjns YdeYT而当 时， 与 是正交基，kntjTne2tjTk2 0102dtesTknjtj而对于信号 的Fourier变换为tjTne2 )(2TnvjjdeTn由

6、此得出2-6 式。由式2-6 可以看出 的功率谱密度为在宽带噪声谱 背景下，在)(ty )(yCF的整数倍值上（谐频上）叠加了相关谱线。sT/1其次分析 ，由于自协方差)(yC0)(lim| tyE那么 )(1li)(li0| dtytTCsy 由于 的非稳态方差 ，进行时间平均则为)(ty )(vartyEt，那么 可以写为)(r100tdtyTCsy yC， 2-7)(var(hty= / 为归一化 稳态自相关函数，是偶函数，其Fourier变换为)(hy)0(y。那么2-6 式可以重新写为vHF2-8)()(var)( sny TnvYHtP输出信噪比 定义为谱线 上的信号功率与以谱线

7、为中心的附)/(soutTnRsTn/ s/近频带 内噪声功率的比值，即B 2-9BTnHtyYTnRssout )/()var)/(22.2 静态系统的离散实现考虑无记忆的静态系统，其输入输出转换为2-10),()(tsgty这里 是任意实函数，设 是白噪声，概率密度 为 ，分布函数 为gf。噪声的自相关函数为udxfF)()( )(2)()( DtER这样导致噪声具有无限大的功率 ，实际上，白噪声近似有一个小但是0非零的相关时间 ，这样其功率很大但是有限，使得 条件成立。c Rc2)0(这里对于输入为白噪声来说，数值模拟中，若采 样时间步长为 ，sTt，对于离散采样白噪声 ，其自相关函数变

8、为sTtN)(tj2-11)()( 2tktkEtkR离散的 Dirac 函数定义为 0,/1)(kttk那么功率谱密度为 tD2由于噪声为白噪声，那么静态非线性 的输出 与 也具有非相)(xg)(ty)关性， 。那么，当 时二阶矩00k )()()() tkjyEtjtjytE当 时，二阶矩k )()()( 22tjytjytjy在任意给定时刻 ，输入 的概率密度函数可以表示为tj)(ts，那么我们可以求解一阶矩)(suf dutsfugtyE)()()(二阶矩 tsfty)()()(22非稳态方差，)()()()(var 22tyEttyEty因此，我们将 可以写成kj2-12)()()(

9、)(ar)() tkjytjttjytkjytE 对于时间 求时间平均得到稳态自相关函数2-13)()(1)()var)(1r1( tkjyEtjNtky tkjytjtktjtkRj NjNjy 这里时间积分，110 *1NjNjTtdt因此稳态自协方差 )(var)()var( tkhytkytkCy 同样地，为了观测频域特征，将均值的 Fourier 系数表示为12exp)(Njn NjnitjyEY这里离散周期 Fourier 变换 2exp*12exp12exp10 NjnitjnitNdtTniT Njj 同样将自相关函数 进行离散 Fourier 变换)(tkRytMNklitk

10、RtDFTMNkyy 1 2exp)( 这里 Fourier 变换为 tklidviMNk 1 2exp*2exp*这里无穷积分上下限用 周期来代替，那么频率分辨率为T， ， 。那么)2/(1)/(tMTv1,l vl2-14vYtyYtMNtyTnP tMNjlklitkjEtjlikytNkRtkRDF nnMNkjkNky 1|var2var 2exp)()(12expvar *01 第一项是由于只有 时， ，后面的项计算参考文献X ktk/1)(Godivier, F. Chapeau-Blondeau, Noise-assisted signal transmission in a

11、nonlinear electronic comparator, Signal Processing, 56:293-303, 1997中利用的一些性质证明。12expMNkkliW由公式 2-14 可以看出，功率谱为一个常数背景 上，谱线 以tyvarT/1及其谐频 。那么信噪比定 义为谱线 上信号的功率除以噪声在频带Tn/ Tn/中所包含的功率，即B2-15BtyYRnsout var)/(2实际运算中可取 ，那么 ，代入得到/1NTBN/1var)/(2yYnnsout这里一个周期内采样 个，一般 100,1000，采样点多些。N2.3 信噪比的数值实现这里无论是有记忆的动态系统还是无记

12、忆的静态系统，我们探讨一类计算机计算的数值方法。1）再次回顾，把系统输出 看成是它的非稳态均值 与围绕均值的稳定)(ty)(tyE波动 的与，即)(ty)()(tyty引入傅里叶变换系数 nYdtTnjtyETss )2exp()10那么将系统仿真之后，如何得到 与傅里叶变换系数 呢？(t nY我们只有求 离散值，并且是一个周期内 个，利用样本来求样)(tjyEtTN/本均值 可以转化为求取时间均值 )(tjy2-16KktjKtjNytjNytj 1)()()(L NL,21这里考虑到动态系统的输出稳定性，把 到 第一个周期的输出给舍)(ty)(tN弃掉了。对于 这N个值进行时间平均，他们都

13、是(,)(jtjyL，平均化之后， ，而把 浮现出来。)(tEty 0/)(Kty)(tjyE这样Fourier系数近似 计算 为y1 y2 y3 yN yN+1 2-1712exp)(Njn NjnityY这里整数 ，表示了谐波频率倍数。,.210n2）为计算自相关函数，固定时间 与时间延迟 ，得二阶非稳态相关函tjti数 )()tijytE同样利用时间平均方法求2-18)()()()1 tijkNytjkytijytK 自协方差 为(yCdtytETCsy0)()( )()( tyEttE那么根据 2-16 与 2-18，可得2-19 Njy tijytjtijyttiC1 )(*)()(那么，依据维纳辛钦定理， 的功率谱密度t )()()( snyy TnvYFvP对于 Fourier 系数 2-17 式已 经求出，那么只要求出 即可，注nY )(tiCDFy意其是偶函数，且有周期性，一个周期内衰减很快，因此只计算一个周期内y1 y2 y3 yN yN+1 y1 y2 y3 yN yN+1 即可 tNijtiCNtiDFTiyy 2exp)(1)(那么输出信噪比即可计算出来。