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1、对解析几何开放性问题的探讨摘要：参数是解析几何中最活跃的元素，也是在高中数学中经常出现的问题。所以树立合理的参数观念，是学好解析几何的中要环节。参数思想与参数方法在解析几何中有广泛的应用，比如用参数方程可以求动点的轨迹问题、变量范围及最值问题、定点问题与定值问题等等。这类问题，不仅涉及面广、综合性强、变量多、应用性强，而且情景新颖，能很好地考验出学生的创新能力与解决问题的能力。通过探讨与研究此课题，以便在平时的数学教学中不断提升学生的思维品质,使同学们获得必要的与较高的数学素养。关键词：常用不等式，构造方法，思维能力，启示。Abstract: Parameter is the most act
2、ive analytic geometry elements of the high school mathematics, also in the often appears in question. So the parameters set reasonable idea, is to learn to link the analytic geometry. Parameters thought and parameters method in analytic geometry in a wide range of applications, For example using fix
3、ed point parameter equation can ask the trajectory problem, variable range and the most value problem, fixed-point problem and fixed value problem, etc. This kind of problem, not only is broad, comprehensive strong, variables, applied is strong, and the scene is novel, can well test out students inn
4、ovation ability and the ability to solve. Through the discussion and research on this topic, so that in the usual mathematics teaching continuously improving students thought quality, make the students have access to the necessary and higher mathematics attainment.Key words: Inequalities, constructi
5、on method, thinking ability, reveltion.2引言在直角坐标系下，坐标平面上的点与有序实数对之间存在着一一对应的关系。当一个点的位置被确定时，它的坐标也就被唯一地确定；当点的位置变动时，点的坐标也相应地变动。在平面解析几何中，点的变动形成一条曲线，由点的变动规律，求出它的横坐标 与纵坐标 之间的关系，就得到一个关于 的方程。这样，曲线与方xy yx,程之间就有了一定的对应关系。当直接寻找变量 之间的关系很难确定时，恰当地引入一个中间变量 (参数)，, t分别建立起变量 与参数 之间的直接关系，从而可以求出 与 之间的关系，这种yxt xy数学思想称为参数思想。
6、运用参数观念来解决解析几何问题的情况十分普遍，比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题、变量的范围及最值问题、定点与定值问题等等。1、介绍几个常用的参数方程1. 一般曲线的参数方程 ；()xftyg为 参 数2. 过定点 、倾斜角为 的直线 的参数方程是： ，其中，0,pxAL0cosinxtAy是 上任意一点， （有向线段 的数量） ，当 点在 上方（右方）,PyL0pt0purp0时， ;当 在 的下方（左方）时， 。0tp0 t如果把直线 L 看成以 为原点，向上或向右为正方向的数轴，则 t 是 的坐标。设是直线 L 上的两个点，分别对应参数 (即 ， )，则线段12,p 12,t01p02
7、p的中点对应参数 ，线段 的长度为 。12t中 p2t3. 圆 C： 的参数方程为： ( 为参数)2200xyr 0cosinxrAy34. 椭圆 C： 的参数方程为：22200bxayab0cosinxaHyb为 参 数5. 双曲线 C： 的参数方程为：222000etaH为 参 数6. 抛物线 的参数方程为：200ypx 20xptHy为 参 数2、高考中例题解析及启示在解析几何在中，求参数的取值范围问题，是高考中经久不衰的热点问题。解题的关键是如何构造出关于参数的不等式。一、求导法例1、 （2009 年陕西理）已知双曲线C的方程为 ，离心率21(0,)yxab，顶点到渐近线的距离为 。5
8、2e25（1）求双曲线C 的方程;（2）P 是双曲线C 上一点, A, B 两点在双曲线C 的两条渐近线上, 且分别位于第一、二象限。若 ,求 面积的取值范围。AKPur123AOBV解 （1）由题意易得双曲线C 的方程为214yx（2）由( 1 ) 知双曲线C： 的两条渐近线方程为，设 ， ，2yx(,2)Am(,)Bn。由 得P点的坐标为 ，将P点坐标代入0,mnAKBur 2,1Knm，化简得 。设 ，因为 ，所以214yx214nmAOBHta2H。tan,si,si5HH又 ，5OABn4故 1sin22AOBSHVm= 1K记 ，由 ，得 。又1(),223SK()0CS1K。89
9、,()34S所以当 时， 的面积取得最小值2;当 时， 的面积取得最大值 。1AOBV3AOBV83即 的面积取值范围是 。AB82,3启示：碰到求范围问题可以转化为利用导数求最值问题。二、利用实根分布或维达定理例2、 （2009 年全国卷文）如图3，已知抛物线E： 与圆M：2yx相交于 四个点。求r的取值范围。40xyrDCBA,解 将抛物线E： 代入圆 M： ，消去 ，整2x240xyr2y理得（1）2276r抛物线E与圆M相交于4个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根。则 212249607rx解得 ，即 。542r5,4r启示：解析几何最重要的题型之一就是曲线与曲线的关系, 这
10、就要联立方程组, 特别是直线与曲线的位置关系更是如此。5三、数形结合求法求参数范围例 3、( 2009 年重庆卷理) 已知以 为周期的函数 ，4t21,13mxfx其中 。若方程 恰有 5 个实数解, 则 的取值范围为( )0m3(fx158(),3A1),7B48),3C4(),73D解：因为当 时，将函数化为方程 ，实质上为一个半椭圆, ,x21(0)yxm同时在坐标系中作出当 的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像 ,如图1,3（2） 所示.由图 2 易知直线 （1）与第 2 个椭圆 （2）3xy241(0)yxm相交，而与第 3 个半椭圆 （3）281(0)y无公共点时，方程恰有
11、5 个实数解，将（1）代入（2）得2 2975mxm令 ，则 。由 ，得 。2t0t280tt2(8)4150tt15t由 ，且 m0，得 。同样将（1）代入（3） ，由 得 。291557m综上知 ，故答案选 B.,73m启示：一般地, 根据含参数方程表示曲线的几何特征, 利用数形结合可确定参数6范围. 另外, 解析几何恒成立问题可通过图形关系、隐含条件是解题的关键。四、根据曲线的范围建立不等关系由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。例4. （2004年辽宁卷）设椭圆方程 ，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标
12、原点，点 P 满足 ，点 N 的坐标为 。当 l绕点 M 旋转时，求：（1）动点 P 的轨迹方程；（2） 的最小值与最大值。解析：（1）动点 P 的轨迹方程是即（1）由点 P 的轨迹方程知 ，即 。所以，故当 时， 取得最小值，最小值为 ；当 时， 取得最大值，最大值为 。7点评：这种求最值问题，实质上是先建立目标函数，再由椭圆的范围确定自变量的取值范围，最后求函数的最值。五、挖掘曲线的隐含不等式例5. （2002年京皖）已知某椭圆的焦点是 ，过点 F2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且 。椭圆上不同的两点 A（ ） 、满足条件： 成等差数列。（1）求该椭圆的方程；（2）求弦 AC
13、 中点的横坐标；（3）设弦 AC 的垂直平分线的方程为 ，求 m 的取值范围。解析：（1）椭圆方程为 。（2）设弦 AC 中点 ，可得 。（3）由 在椭圆上，得两式相减得，即将 ， ， 代入上式，得9425即 （当 k0时也成立） 。由点 P（4， ）在弦 AC 的垂直平分线上，得，8即 。由 P（ ）在线段 BB”上（B”与 B 关于轴对称） ，得所以 。对于一些特殊曲线，它们自身都包含了一些不等关系。如椭圆长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长。对于圆与椭圆，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。当然有些情况下，不等关系比较隐蔽，只有认真地分析题设中的条件与
14、结论，才能找到所需的含参不等式。六、利用判别式求参数范围例 6、 （2 0 0 5 年全国卷 3）设 , 两点在抛物线 上, 是1()Axy2()B2yxL的垂直平分线，当直线 的率为 2 时,求直线在 轴上截距的取值范围ABL解 设直线 在 轴上的截距为 , 依题意得 的方程为 ybLyx过点 的直线方程可写为BA, 12m由 ，消 得 （1）21yxmy0x即 是方程（1）的两个不同的解，得 ，即 ，且 。,xy 1804m32124x设 的中点 的坐标为 ，则 ABN0(,)xy, 120800126x由 ，得 ，于是 。l64mb59632m9即得直线 在 轴上截距的取值范围为 。 L
15、y9,32启示：该题含有两个参数 b , m , 先由直线 AB 与抛物线有两个不同的交点, 应用判别式求出参数 m 的范围 , 再由题意找出两个参数 b ，m 之间的关系式, 最后求出参数 b 的取值范围 。 七、根据曲线上点的坐标范围求参数范围例 7（2009 年重庆卷文）已知椭圆 的左、右焦点分别为210xyab，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的12,0,FCP1221sinsincFP离心率的取值范围为_。解：因为在中 ，由正弦定理得 ，则由已知得 ，1P2112sinsinP121acFP即 。设点 ，由焦点半径公式，得 ，则12aFc0,xy1020,FaexPex，得 。由椭圆的几何性质知 ，则00exe0ace0a，整理得 ，解得 或 ，又 ，故椭圆的1a2121e(,1)e离心率 。(2,)e启示：由椭圆的简单几何性质知, 椭圆上任一点的横、
