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1、二次函数与圆 一解答题（共 15 小题）1 （2012宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+1 分别与两坐标轴交于 B，A 两点，C 为该直线上的一动点，以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 开始沿直线 BA 向上移动，作等边CDE，点 D 与点 E 都在 x 轴上，以点 C 为顶点的抛物线 y=a（ xm） 2+n 经过点 EM 与 x 轴、直线 AB 都相切，其半径为 3（1 ）a（1）求点 A 的坐标与ABO 的度数；（2）当点 C 与点 A 重合时，求 a 的值；（3）点 C 移动多少秒时，等边 CDE 的边 CE 第一次与M 相切？考点： 二次函数综合题1171131专题：
2、 代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合分析： （1）已知直线 AB 的解析式，令解析式的 x=0，能得到 A 点坐标；令 y=0，能得到 B 点坐标；在 RtOAB 中，知道 OA、OB 的长，用正切函数即可得到 ABO 的读数（2）当 C、A 重合时，就告诉了点 C 的坐标，然后结合 OC 的长以及等边三角形的特性求出 OD、OE 的长，即可得到 D、E 的坐标，利用待定系数即可确定 a 的值（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图） ；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点 E，首先能判断出四边形 CPMN 是正方形，那么 CP 与 M 的半
3、径相等，只要再求出 PE 就能进一步求得 C 点坐标；那么可以从 PE=EQ，即 RtMEP 入手，首先CED=60，而MEP=MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到 PE 的长，即可求出 PE 及点 C、E 的坐标然后利用 C、E 的坐标确定 a 的值，进而可求出 AC 的长，由此得解解答： 解：（1）当 x=0 时，y=1 ；当 y=0 时，x= ，OA=1，OB= ， =A 的坐标是（0，1）ABO=30（2）CDE 为等边 ，点 A（0，1） ，tan30= ， ，D 的坐标是（ ，0） ，E 的坐标是（ ，0） ，把点 A（0，1） ，D（ ，0） ，E（ ，0）代入
4、 y=a（xm） 2+n，解得：a= 3（3）如图，设切点分别是 Q，N ，P，连接 MQ，MN ，MP，ME，过点 C 作 CHx 轴，H 为垂足，过 A作 AFCH，F 为垂足CDE 是等边三角形， ABO=30BCE=90， ECN=90CE，AB 分别与M 相切，MPC=CNM=90 ，四边形 MPCN 为矩形， MP=MN四边形 MPCN 为正方形MP=MN=CP=CN=3（1 ）a（a0） EC 与 x 轴都与 M 相切， EP=EQNBQ+NMQ=180，PMQ=60 EMQ=30， 在 RtMEP 中，tan30= ， PE=（ 3）aCE=CP+PE=3（1 ）a+（ 3）a
5、=2 aDH=HE= a，CH= 3a，BH=3 a，OH=3 a ，OE=4 aE（ 4 a ，0）C（ 3 a ，3a ）设二次函数的解析式为：y=a（x+3 a+ ） 23aE 在该抛物线上a（4 a +3 a+ ） 23a=0得：a 2=1，解之得 a1=1，a 2=1a0，a= 1AF=2 ，CF=2， AC=4点 C 移动到 4 秒时，等边 CDE 的边 CE 第一次与 M 相切点评： 这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思
6、想是关键2 （2012盐城）在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y= 的图象经过点 A（2，0）与点B（1， ） ，直线 l 经过抛物线的顶点且与 t 轴垂直，垂足为 Q（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点 P 从点 B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标 y1 随时间 t（t0）的变化规律为y1= +2t现以线段 OP 为直径作 C当点 P 在起始位置点 B 处时，试判断直线 l 与C 的位置关系，并说明理由；在点 P 运动的过程中，直线 l 与C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由若在点 P 开始运动的同时，直线 l 也向上平行移动，且垂足 Q 的纵坐标 y2
7、随时间 t 的变化规律为 y2=1+3t，则当 t 在什么范围内变化时，直线 l 与C 相交？此时，若直线 l 被C 所截得的弦长为 a，试求 a2 的最大值考点： 二次函数综合题1171131专题： 压轴题；动点型分析： （1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将 A、B 两点坐标代入即可得解（2）由于 OP 是 C 的直径，根据 P 点的纵坐标可表示出 C 点的纵坐标，进而能表示出 C 到直线 l 的距离；OP 长易得，然后通过比较C 的半径与 C 到直线 l 的距离，即可判定直线 l 与C 的位置关系该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路与完全一致，唯一不同的地方：要注意直线
8、l 与点 C 的位置关系（需要考虑到 C 到直线 l 的表达方式） 在第二问中，a 2 最大，那么 a 最大，即直线 l 被C 截得的弦最长（为直径） ，此时圆心 C 应在直线 l 上，根据该思路即可得解解答： 解：（1）将点 A（2，0）与点 B（1， ）分别代入 y= x2+mx+n 中，得：，解得： ，抛物线的解析式：y= x21；（2）将 P 点纵坐标代入（1）的解析式，得：x21= +2t，x= ，P（ ， +2t） ，圆心 C（ ， +t） ，点 C 到直线 l 的距离： +t（1）=t+ ；而 OP2=8t+1+（ +2t） 2，得 OP=2t+ ，半径 OC=t+ ；直线 l
9、与 C 始终保持相切、当圆心 C 在直线 l 上时， +t=1+3t，t= ；此时直线 l 与C 相交；当 0t 时， C 到直线 l 的距离： +t（1+3t）= 2tt+ ，直线 l 与 C 相交；当 t 时，C 到直线 l 的距离： 1+3t（ +t）=2t ，若直线 l 与C 相交，则：2t t+ ，t ；综上，当 0t 时，直线 l 与C 相交；、若 a2 最大，则 a 为C 的直径，此时点 C 在直线 l 上，由 知：此时 t= ，半径 OC=t+ = ，直径 a= ，0 t 时，圆心 C 到直线 l 的距离为 d=|2t |，又半径为 r=t+ ，a2=4（ r2d2）=4（t+
10、 ） 2|2t |2=12t2+15t，t= 时，a 的平方取得最大值为 点评： 该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解3 （2012南充）如图， C 的内接AOB 中，AB=AO=4，tanAOB= ，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（4，0）与点（2 ，6 ） （1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m 与C 相切于点 A，交 y 轴于点 D动点 P 在线段 OB 上，从点 O 出发向点 B 运动；同时动点 Q 在线段 DA 上，从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒一个单位长，点 Q 的
11、速度为每秒 2 个单位长，当PQAD 时，求运动时间 t 的值；（3）点 R 在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上，当 ROB 面积最大时，求点 R 的坐标考点： 二次函数综合题1171131分析： （1）根据抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（4，0）与点（ 2，6） ，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图 1，由已知条件，可以计算出 OD、AE 等线段的长度当 PQAD 时，过点 O 作 OFAD 于点 F，此时四边形 OFQP、OFAE 均为矩形则在 RtODF 中，利用勾股定理求出 DF 的长度，从而得到时间 t 的数值；（3）因为 OB 为定值，欲使ROB 面积最大，只需 O
12、B 边上的高最大即可按照这个思路解决本题如答图 2，当直线 l 平行于 OB，且与抛物线相切时，OB 边上的高最大，从而 ROB 的面积最大联立直线 l 与抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于 0 的结论可以求出 R 点的坐标解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（4，0）与点（ 2，6） ， ，解得抛物线的解析式为：y= x22x（2）如答图 1，连接 AC 交 OB 于点 E，由垂径定理得 ACOBAD 为切线， ACAD，ADOB过 O 点作 OFAD 于 F，四边形 OFAE 是矩形，tanAOB= ，sin AOB= ，AE=OAsinAOB=4 =2.4，OD
13、=OAtanOAD=OAtanAOB=4 =3当 PQAD 时，OP=t ，DQ=2t过 O 点作 OFAD 于 F，则在 RtODF 中，OD=3， OF=AE=2.4，DF=DQFQ=DQOP=2tt=t，由勾股定理得：DF= = =1.8，t=1.8 秒；（3）如答图 2，设直线 l 平行于 OB，且与抛物线有唯一交点 R（相切） ，此时ROB 中 OB 边上的高最大，所以此时 ROB 面积最大tanAOB= ，直线 OB 的解析式为 y= x，由直线 l 平行于 OB，可设直线 l 解析式为 y= x+b点 R 既在直线 l 上，又在抛物线上， x22x= x+b，化简得：2x 211
14、x4b=0直线 l 与抛物线有唯一交点 R（相切） ，判别式=0，即 112+32b=0，解得 b= ，此时原方程的解为 x= ，即 xR= ，而 yR= xR22xR=点 R 的坐标为 R（ ， ） 点评： 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理与解直角三角形等重要知识点难点在于第（3）问，判定何时ROB 的面积最大是解决问题的关键本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实与灵活运用才能够顺利解答本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨4 （2012荆门）如图甲，四边形 OABC
15、的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x轴于点 A、D，交 y 轴于点 E，连接 AB、AE、BE 已知 tanCBE= ，A （3，0） ，D（1，0） ，E（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标；（2）求证：CB 是ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度（0t3）时， AOE 与 ABE 重叠部分的面积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式，并指出 t 的取值范围考点： 二次函数综合题1171131专题： 代数几何综合题；压轴题；分类讨论分析： （1）已知 A、D、E 三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点 B 的坐标（2）过 B 作 BMy 轴于 M，由 A、B、E 三点坐标，可判断出 BME
