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1、第 1 页类型全等三角形存在性问题探究,备考攻略)抛物线上是否存在一点，使之与另 3 个点构成的两个三角形全等1一般有 2 个不确定的点，三角形形状不明确，学生分析对应边有困难2原理是“边角边”的全等判定理解有困难 .1分析不变特征：先研究定点、动点，进一步在两个三角形中进行研究，发现只有一条定线段，所以两个三角形都不确定2考虑形成因素，画图，求解，由于三角形形状不明确，则考虑两个三角形的对应关系，通过三角形的公共边，可确定出对应边要想全等，只需满足这两组对应边的所夹夹角相等即可，所以抛物线上的动点实际是抛物线与某条角平分线的交点抛物线上的动点与两定点、一动点构成的两个三角形全等,典题精讲)【
2、例】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y) 是抛物线 y x22x4 上12的一个动点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，经过点 P 的直线 PE 与 y 轴交于点 E，是否存在OPE 与OPD 全等？若存在，请求出直线 PE 的解析式；若不存在，请说明理由【解析】由OPEOPD 可得OPD OPE ，即点 P 在各象限的角平分线上，分点 P 在第一、三象限的角平分线上和点 P 在第二、四象限的角平分线上两种情况求出点 P 的坐标，应用待定系数法求解即可【答案】解：存在y 2x4 (x2) 26，12 12抛物线的对称轴为直线 x2，OD2.如图，ODOE，OPOP ，若OPD
3、 OPE ，则OPDOPE，即点 P 在各象限的角平分线上第 2 页若点 P 在第一、三象限的角平分线上，又因为点 P 在抛物线上，联立方程组y x，y 12x2 2x 4， )解得 x1 3 17，y1 3 17， )x2 3 17，y2 3 17， )P 1( 3 ，3 )，P 2(3 ，3 )17 17 17 17当 P1( 3 ，3 )，E 1(0，2) 时，由待定系数法可求 P1E1 的解析式为 y17 17x2；7 174当 P2( 3 ，3 )，E 2(0，2) 时，由待定系数法可求 P2E2 的解析式为 y17 17x2；7 174若点 P 在第二、四象限的角平分线上，则解得
4、y x，y 12x2 2x 4， ) x3 4，y3 4， )x4 2，y4 2， )P 3( 4，4)，P 4(2，2)，当 P3(4，4)，E 3(0，2) 时，求得 P3E3 的解析式为y x2，12当 P4(2， 2)，E 4(0，2) 时，求得 P4E4 的解析式为 y2x2.综上所述，直线 PE 的解析式为 y x2 或 y x2 或 y x2 或7 174 7 174 12y2x2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax 2bx8 与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于第 3 页点 E，连
5、接 CE，已知点 A，D 的坐标分别为( 2，0)，(6，8) (1)求抛物线的函数解析式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点 F，使FOE FCE ，若存在，请写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线经过点 A(2， 0)，D(6，8) ， 4a 2b 8 0，36a 6b 8 8， )解得 a 12，b 3， )抛物线的函数解析式为 y x23x8，12y x23x8 (x3) 2 ，12 12 252抛物线的对称轴为直线 x3.又抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(8，0) ，设直线 l 的函数解析式为 y kx.点 D(6，8)在直线 l 上，6k8，解得 k .43直线 l 的函数解析式为 y x，43点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点，点 E 的横坐标为 3，纵坐标为 34，即点 E 的坐标为(3，4) ；43(2)抛物线上存在点 F.E 的坐标为(3，4) ，C 的坐标为 (0，8)，OE5，CE5，OEC 是等腰三角形，使FOEFCE.则FEOFEC，点 F 在OEC 的平分线上，y F 4，把 yF 4 代入抛物线解析式 y x23x8，12求得 x13 ，x 23 ，17 17点 F 的坐标为(3 ，4) 或(3 ，4)17 17
